30. Частные коэффициенты корреляции для линейной модели регрессии с двумя факторными переменными
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Частные коэффициенты корреляции используются для оценки зависимости между результативной переменной и одной из факторных переменных при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель множественной регрессии. Таким образом, частный коэффициент корреляции позволяет элиминировать влияние на результат всех факторных модельных переменных кроме одной.
Рассчитаем частные коэффициенты корреляции на основе линейной модели регрессии с двумя факторными переменными.
Общий вид модели двухфакторной регрессии:
yi=β0+β1xi+β2zi+εi,
где yi – результативная переменная,
xi – первая факторная переменная;
zi – второй факторная переменная;
β0, β1, β2– неизвестные коэффициенты модели регрессии;
εi – случайная ошибка модели регрессии.
Для определения степени зависимости между результативной переменной yiи факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi и результативной переменной yi и факторной переменной zi при постоянном значении факторной переменной xi используются частные коэффициенты корреляции первого порядка, потому что они позволяют элиминировать влияние только одного признака. Порядок частного коэффициента корреляции характеризуется количеством признаков, влияние которых устраняется. Для модели парной регрессии рассчитывается коэффициент корреляции нулевого порядка.
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xiпри постоянном значении факторной переменой ziрассчитывается по формуле:
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной ziпри постоянном значении факторной переменной xi рассчитывается по формуле:
Кроме влияния на результативную переменную, частный коэффициент корреляции позволяет рассчитать степень зависимости между факторными переменными.
Коэффициент частной корреляции между факторной переменной xi и факторной переменной ziпри постоянном значении результативной переменной yi рассчитывается по формуле:
Рассмотренные коэффициенты частной корреляции изменяются в пределах от минус единицы до единицы.
Частные коэффициенты корреляции также можно рассчитать через коэффициент множественной детерминации.
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi:
где
– множественный коэффициент детерминации двухфакторной модели регрессии.
Данный коэффициент корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы.
При проверке значимости частных коэффициентов корреляции выдвигается основная гипотеза о незначимости данных коэффициентов, например:
Н0:ryx/z=0.
Тогда конкурирующей или альтернативной гипотезой будет гипотеза вида:
Н1:ryx/z≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Критическое значение t-критерия tкрит(а,n-h) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (n-h) – число степеней свободы. Для модели двухфакторной регрессии число степеней свободы равно (n-3).
Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле (на примере частного коэффициента корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi):
Если |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза не отклоняется, и частный коэффициент корреляции является незначимым. Следовательно, между переменными х и у при постоянном значении переменой z корреляционная связь отсутствует.
Если |tнабл|>tкрит, то основная гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей гипотезы с вероятностью совершения ошибки первого рода а. В этом случае можно считать, что между переменными х и у при постоянном значении переменной z существует корреляционная зависимость.
Частные коэффициенты корреляции позволяют сделать вывод об обоснованности включения переменной в модель регрессии. Если значение частного коэффициента корреляции мало или коэффициент незначим, то связь между данной факторной переменной и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели без ущерба для её качества.
Частные коэффициенты корреляции используются для оценки зависимости между результативной переменной и одной из факторных переменных при условии постоянства всех остальных факторных переменных, включённых в модель множественной регрессии. Таким образом, частный коэффициент корреляции позволяет элиминировать влияние на результат всех факторных модельных переменных кроме одной.
Рассчитаем частные коэффициенты корреляции на основе линейной модели регрессии с двумя факторными переменными.
Общий вид модели двухфакторной регрессии:
yi=β0+β1xi+β2zi+εi,
где yi – результативная переменная,
xi – первая факторная переменная;
zi – второй факторная переменная;
β0, β1, β2– неизвестные коэффициенты модели регрессии;
εi – случайная ошибка модели регрессии.
Для определения степени зависимости между результативной переменной yiи факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi и результативной переменной yi и факторной переменной zi при постоянном значении факторной переменной xi используются частные коэффициенты корреляции первого порядка, потому что они позволяют элиминировать влияние только одного признака. Порядок частного коэффициента корреляции характеризуется количеством признаков, влияние которых устраняется. Для модели парной регрессии рассчитывается коэффициент корреляции нулевого порядка.
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xiпри постоянном значении факторной переменой ziрассчитывается по формуле:
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной ziпри постоянном значении факторной переменной xi рассчитывается по формуле:
Кроме влияния на результативную переменную, частный коэффициент корреляции позволяет рассчитать степень зависимости между факторными переменными.
Коэффициент частной корреляции между факторной переменной xi и факторной переменной ziпри постоянном значении результативной переменной yi рассчитывается по формуле:
Рассмотренные коэффициенты частной корреляции изменяются в пределах от минус единицы до единицы.
Частные коэффициенты корреляции также можно рассчитать через коэффициент множественной детерминации.
Коэффициент частной корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi:
где
– множественный коэффициент детерминации двухфакторной модели регрессии.
Данный коэффициент корреляции изменяется в пределах от нуля до единицы.
При проверке значимости частных коэффициентов корреляции выдвигается основная гипотеза о незначимости данных коэффициентов, например:
Н0:ryx/z=0.
Тогда конкурирующей или альтернативной гипотезой будет гипотеза вида:
Н1:ryx/z≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Критическое значение t-критерия tкрит(а,n-h) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (n-h) – число степеней свободы. Для модели двухфакторной регрессии число степеней свободы равно (n-3).
Наблюдаемое значение t-критерия рассчитывается по формуле (на примере частного коэффициента корреляции между результативной переменной yi и факторной переменной xi при постоянном значении факторной переменой zi):
Если |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза не отклоняется, и частный коэффициент корреляции является незначимым. Следовательно, между переменными х и у при постоянном значении переменой z корреляционная связь отсутствует.
Если |tнабл|>tкрит, то основная гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей гипотезы с вероятностью совершения ошибки первого рода а. В этом случае можно считать, что между переменными х и у при постоянном значении переменной z существует корреляционная зависимость.
Частные коэффициенты корреляции позволяют сделать вывод об обоснованности включения переменной в модель регрессии. Если значение частного коэффициента корреляции мало или коэффициент незначим, то связь между данной факторной переменной и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели без ущерба для её качества.