65. Обобщённая модель регрессии. Обобщённый метод наименьших квадратов. Теорема Айткена
К оглавлению1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
МНК-оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии, чьи случайные ошибки подвержены явлениям гетероскедастичности или автокорреляции, не будут удовлетворять теореме Гаусса-Маркова. Свойствами состоятельности и несмещённости МНК-оценки будут обладать, однако свойство эффективности в этом случае утрачивается.
Для вычисления оценок неизвестных коэффициентов модели регрессии с гетероскедастичными или коррелированными случайными ошибками используется обобщённый метод наименьших квадратов. Оценки, полученные с помощью данного метода, будут удовлетворять условиям состоятельности, несмещённости и эффективности.
В основе нормальной линейной модели регрессии среди прочих лежат условия о некоррелированности и гомоскедастичности случайных ошибок:
1) дисперсия случайной ошибки модели регрессии является величиной, постоянной для всех наблюдений:
2) случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:
Определение. Обобщённой линейной моделью регрессии называется модель, для которой нарушаются условия о гомоскедастичности и некоррелированности случайных ошибок.
Таким образом, обобщённая линейная модель регрессии характеризуется неоднородностью дисперсий случайных ошибок:
D(εi)≠ D(εj)≠G2≠const, где i≠j,
и наличием автокорреляции случайных ошибок:
Cov(εi,εj)≠E(εi,εj)≠0 (i≠j).
Матричный вид обобщённой линейной модели регрессии:
Y=X* β+ε,
где X – неслучайная матрица факторных переменных;
ε – случайная ошибка модели регрессии с нулевым математическим ожиданием E(ε)=0 и дисперсией G2(ε):
ε~N(0;G2Ω),
Ω – ковариационная матрица случайных ошибок обобщённой модели регрессии.
Для нормальной линейной модели регрессии дисперсия случайной ошибки определялась на основе условия гомоскедастичности:
где G2=const – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ε;
In – единичная матрица размерности n*n.
Для обобщённой модели регрессии ковариационная матрица случайных ошибок строится на основе условия непостоянства дисперсий остатков модели регрессии (гетероскедастичности) D(εi)≠ D(εj)≠G2≠const:
Отличие между нормальной линейной моделью регрессии и обобщенной линейной моделью регрессии заключается в матрице ковариаций случайных ошибок модели.
Теорема Айткена. В классе линейных несмещённых оценок неизвестных коэффициентов обобщённой модели регрессии оценка
будет иметь наименьшую ковариационную матрицу.
Общая формула для расчёта матрицы ковариаций ОМНК-оценок коэффициентов обобщенной модели регрессии имеет вид:
Величина G2(ε) оценивается по формуле:
Однако значение G2(ε) не следует трактовать как дисперсию случайной ошибки модели регрессии.
Коэффициент детерминации не используется при оценке качества обобщённой линейной модели регрессии, потому что он не отвечает требованиям, предъявляемым к обычному множественному коэффициенту детерминации.
Проверка гипотез о значимости коэффициентов обобщенной линейной модели регрессии и модели регрессии в целом осуществляется с помощью тех же статистических критериев, что и в случае нормальной линейной модели регрессии.
МНК-оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии, чьи случайные ошибки подвержены явлениям гетероскедастичности или автокорреляции, не будут удовлетворять теореме Гаусса-Маркова. Свойствами состоятельности и несмещённости МНК-оценки будут обладать, однако свойство эффективности в этом случае утрачивается.
Для вычисления оценок неизвестных коэффициентов модели регрессии с гетероскедастичными или коррелированными случайными ошибками используется обобщённый метод наименьших квадратов. Оценки, полученные с помощью данного метода, будут удовлетворять условиям состоятельности, несмещённости и эффективности.
В основе нормальной линейной модели регрессии среди прочих лежат условия о некоррелированности и гомоскедастичности случайных ошибок:
1) дисперсия случайной ошибки модели регрессии является величиной, постоянной для всех наблюдений:
2) случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:
Определение. Обобщённой линейной моделью регрессии называется модель, для которой нарушаются условия о гомоскедастичности и некоррелированности случайных ошибок.
Таким образом, обобщённая линейная модель регрессии характеризуется неоднородностью дисперсий случайных ошибок:
D(εi)≠ D(εj)≠G2≠const, где i≠j,
и наличием автокорреляции случайных ошибок:
Cov(εi,εj)≠E(εi,εj)≠0 (i≠j).
Матричный вид обобщённой линейной модели регрессии:
Y=X* β+ε,
где X – неслучайная матрица факторных переменных;
ε – случайная ошибка модели регрессии с нулевым математическим ожиданием E(ε)=0 и дисперсией G2(ε):
ε~N(0;G2Ω),
Ω – ковариационная матрица случайных ошибок обобщённой модели регрессии.
Для нормальной линейной модели регрессии дисперсия случайной ошибки определялась на основе условия гомоскедастичности:
где G2=const – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ε;
In – единичная матрица размерности n*n.
Для обобщённой модели регрессии ковариационная матрица случайных ошибок строится на основе условия непостоянства дисперсий остатков модели регрессии (гетероскедастичности) D(εi)≠ D(εj)≠G2≠const:
Отличие между нормальной линейной моделью регрессии и обобщенной линейной моделью регрессии заключается в матрице ковариаций случайных ошибок модели.
Теорема Айткена. В классе линейных несмещённых оценок неизвестных коэффициентов обобщённой модели регрессии оценка
будет иметь наименьшую ковариационную матрицу.
Общая формула для расчёта матрицы ковариаций ОМНК-оценок коэффициентов обобщенной модели регрессии имеет вид:
Величина G2(ε) оценивается по формуле:
Однако значение G2(ε) не следует трактовать как дисперсию случайной ошибки модели регрессии.
Коэффициент детерминации не используется при оценке качества обобщённой линейной модели регрессии, потому что он не отвечает требованиям, предъявляемым к обычному множественному коэффициенту детерминации.
Проверка гипотез о значимости коэффициентов обобщенной линейной модели регрессии и модели регрессии в целом осуществляется с помощью тех же статистических критериев, что и в случае нормальной линейной модели регрессии.