3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом?

Допустим, что в основе математического понимания и в са­мом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены в том, что наши математи­ческие представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем, где мы исключили возможность нашего зна­ния о том, что некая системаи в самом деле является необос­нованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется по­вторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью Можно ли считать действительно правдоподобным предположе­ние о том, что фундаментом для наших неопровержимых мате­матических убеждений служит некая необоснованная система -настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным ма­тематическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку матема­тические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания.

Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятно­го в том, что какие-то современные общепринятые математиче­ские суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспо­римыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противо­речия. Возможно, они даже сошлются на тот знаменитый пара­докс (о «множестве множеств, которые не являются элементами самих себя»), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опублико­вать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражениюи НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [126]):

Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более

нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения

сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бу­маге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела...

Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допус­кают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне ис­правимой. Разве мы не убедились (вкомментарий к) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рас­суждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и влишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообще­ства. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность кото­рых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадле­жат к категории принципиальных вопросов, разве нет? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражениюпоскольку теперь у нас есть формальная си­стема, которая, возможно, лежит в основе нашего математи­ческого понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — ко­торые может допустить отдельный математик, рассуждая в рам­ках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упу­щение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаклю­чений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт на­личия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречиво­сти установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фун­даменте собственные системы.

Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла си­стема Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержится в тех или иных полагаемых на­ми на данный момент неопровержимо истинными математических процедурах — парадокс, о котором никто не узнает еще, быть может, многие века. Необходимость в смене привычных правил мы осознаем лишь тогда, когда такой парадокс наконец себя про­явит. Короче говоря, наша математическая интуиция не зиждется на каких-то непреходящих в веках установлениях, но непрерывно меняется под сильным воздействием идей, которые прекрасно «работали» прежде, и соображений, последствия применения которых пока что «сходят нам с рук». Такая точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в основе нашего те­перешнего математического понимания некоего алгоритма (или формальной системы), однако этот алгоритм не является чем-то неизменным, по мере обнаружения новых данных он подвергает­ся непрерывной модификации. К изменяющимся алгоритмам мы еще вернемся несколько позднее где и убедимся в том, что это по-прежнему все те же алгоритмы, только в ином обличье.

Разумеется, с моей стороны было бы наивным отрицать тот факт, что в методах, которые применяют в своей работе матема­тики, нередко присутствует элемент «доверия» процедуре, если она «до сих пор, кажется, работает». В моей собственной мате­матической практике такие предварительные, ориентировочные, нечеткие соображения составляют в общей совокупности рас­суждений весьма заметный процент. Однако они, как правило, обретаются в той области, которая «отвечает» за нащупывание нового, еще не сформировавшегося понимания, а никак не в той, где мы «складываем» неопровержимо, на наш взгляд, установ­ленные истины. Я очень сомневаюсь, что сам Фреге так уж ка­тегорически полагал свою систему абсолютно неопровержимой, даже не подозревая еще о парадоксе, о котором написал ему Рассел. Система суждений столь общего характера, что бы ни думал по ее поводу автор, всегда выдвигается на всеобщее обо­зрение с некоторой настороженностью. Лишь после длительного «периода осмысления» можно будет полагать, что она достигла, наконец, «уровня неопровержимости». Имея же дело с системой настолько общей, как система Фреге, в любом случае, как мне кажется, следует употреблять выражения вида «полагая систему Фреге обоснованной, можно считать справедливым то-то и то-то», а не просто утверждать эти самые «то-то и то-то» без упо­мянутой оговорки. (См. также комментарии к возражениям и.

Возможно, в настоящее время математики стали более осто­рожными в отношении того, что они готовы рассматривать как «неопровержимую истину» — эпоха осторожности сменила эпо­ху отчаянной дерзости (среди примеров которой работа Фре­ге занимает далеко не последнее место), пришедшуюся на ко­нецстолетия. С выходом на сцену парадокса Рассела и про­чих ему подобных необходимость в такой осторожности прояв­ляется особенно наглядно. Что же касается дерзости, то она, по большей части, уходит корнями в те времена, когда математи­ки начали потихоньку осознавать всю мощь канторовой теории бесконечных чисел и бесконечных множеств, выдвинутой им в начале того жевека. (Следует, впрочем, отметить, что сам Кантор знал о парадоксах, подобных парадоксу Рассела, — за­долго до того, как сам Рассел обнаружил тот, что был назван его именем), — и предпринимал попытки усовершенствовать свою формулировку с тем, чтобы, по возможности, учитывать подобные проблемы.) Цели и характер моих рассуждений на этих страницах также, несомненно, требуют крайней осторожности. И я безмерно рад, что нам с вами приходится иметь дело только с утверждениями, истинность которых неопровержима, и что нет никакой необходимости влезать в дебри бесконечных множеств и прочих сомнительных понятий. Важно помнить, что где бы мы ни провели черту, полученные с помощью доказательства Гёделя утверждения всегда остаются в рамках неопровержимо истин­ного (см. также комментарий к возражению). Само по себе доказательство Гёделя (—Тьюринга) не имеет абсолютно никако­го отношения к вопросам, связанным с сомнительным существо­ванием бесконечных множеств определенного сорта. Неясности, касающиеся тех самых исключительно вольных рассуждений, столь занимавших Кантора, Фреге и Рассела, ничуть не занима­ют нас — до тех пор, пока они остаются «сомнительными», не претендуя на звание «неопровержимых». Коль скоро мы со всем этим согласны, я никак не могу счесть правдоподобным допуще­ние, согласно которому математики действительно использу­ют в качестве основы для своего математического понимания и убеждений какую-либо необоснованную формальную систему F. Я надеюсь, читатель согласится с тем, что вне зависимости от того, возможна такая ситуация или нет, она, во всяком случае, невероятна.

Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей гипотетической системы, вернемся ненадолго к другим аспек­там человеческой «неточности», о которых мы говорили выше (см. комментарии к возражениям). Прежде всего повторюсь, нас в данном случае интересуют не вдохновение, не гениальные догадки и не эвристические критерии, способные привести математика к великим открытиям, но лишь понимание и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся его неопровержимые убеждения в отношении математических истин. Эти убеждения могут оказаться всего-навсего результатом озна­комления с рассуждениями других математиков, и в этом слу­чае о каких бы то ни было элементах математического открытия говорить, разумеется, не приходится. А вот когда мы нащупы­ваем путь к какому-то подлинному открытию, и впрямь весьма важно дать размышлениям свободу, не ограничивая их изначаль­но необходимостью в полной достоверности и точности (у меня сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринг в приведенной выше цитате, см.). Однако когда перед нами встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в поддержку неопровержимой истинности выдвигаемого математи­ческого утверждения, необходимо полагаться лишь на понимание и проницательность (нередко в сопровождении громоздких вы­числений), которым ошибки принципиально не свойственны.

Я вовсе не хочу сказать, что математики, полагающиеся на понимание, не делают ошибок, — делают, и даже часто: понима­ние тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к пониманию (хотя я, пожалуй, могу представить себе, каким об­разом подобные случайные обстоятельства могут порой привести человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важ­но — эти ошибки исправимы, их можно распознать как ошиб­ки, когда на них укажет какой-либо другой математик (или даже впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, когда пони­мание математика контролируется некоей внутренне ошибочной формальной системойв рамках такой системы невозможно распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможно­сти существования самосовершенствующейся системы, которая модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе противоречие, то о ней мы поговорим несколько позднее, «на подступах» к противоречиюТам же мы и обнаружим, что и от такого предположения в данном случае пользы мало; см. также)

Ошибки несколько иного рода возникают при неверной фор­мулировке математического утверждения; в этом случае выдви­гающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто совсем отличное от того, что он буквально утверждает. Впрочем, такие ошибки также исправимы и не имеют ничего общего с теми внутренними ошибками, причиной которых является понима­ние, опирающееся на необоснованную систему(Здесь уместно вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с возражением«Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!»). Мы с вами здесь для того, чтобы выяснить, что, в принципе, может (либо не может) быть установлено каким угодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только что рассмотренным, — т.е. исправимые ошибки — никакого от­ношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для всего нашего исследования момент: круг идей и понятий, доступ­ных математическому пониманию, непременно должен включать в себя центральную идею доказательства Гёделя—Тьюринга; на этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез воз­можность, а возможностьполагаем крайне невероятной. Как уже отмечалось выше (в комментарии к возражению), идея доказательства Гёделя—Тьюринга, безусловно, должна являться частью того, что, в принципе, в состоянии понять математик, даже если какое-то конкретное утверждение, на котором этот математик, возможно, основывается, ошибочно — лишь бы ошибка была исправимой.

С возможной «необоснованностью» предполагаемого алго­ритма математического понимания связаны и другие вопросы, о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются проце­дур «восходящего» типа — таких, к примеру, как самоусовер­шенствующиеся алгоритмы, алгоритмы обучения (в том числе и искусственные нейронные сети), алгоритмы с дополнительными случайными компонентами, а также алгоритмы, операции кото­рых обусловлены внешним окружением, в котором функциониру­ют соответствующие алгоритмические устройства. Некоторые из упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к возражению), подробнее же мы рассмотрим их при обсужде­нии случая, к каковому обсуждению мы как раз и приступаем.

Допустим, что в основе математического понимания и в са­мом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены в том, что наши математи­ческие представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем, где мы исключили возможность нашего зна­ния о том, что некая системаи в самом деле является необос­нованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется по­вторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью Можно ли считать действительно правдоподобным предположе­ние о том, что фундаментом для наших неопровержимых мате­матических убеждений служит некая необоснованная система -настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным ма­тематическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку матема­тические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания.

Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятно­го в том, что какие-то современные общепринятые математиче­ские суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспо­римыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противо­речия. Возможно, они даже сошлются на тот знаменитый пара­докс (о «множестве множеств, которые не являются элементами самих себя»), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опублико­вать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражениюи НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [126]):

Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более

нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения

сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бу­маге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела...

Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допус­кают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне ис­правимой. Разве мы не убедились (вкомментарий к) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рас­суждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и влишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообще­ства. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность кото­рых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадле­жат к категории принципиальных вопросов, разве нет? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражениюпоскольку теперь у нас есть формальная си­стема, которая, возможно, лежит в основе нашего математи­ческого понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — ко­торые может допустить отдельный математик, рассуждая в рам­ках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упу­щение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаклю­чений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт на­личия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречиво­сти установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фун­даменте собственные системы.

Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла си­стема Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержится в тех или иных полагаемых на­ми на данный момент неопровержимо истинными математических процедурах — парадокс, о котором никто не узнает еще, быть может, многие века. Необходимость в смене привычных правил мы осознаем лишь тогда, когда такой парадокс наконец себя про­явит. Короче говоря, наша математическая интуиция не зиждется на каких-то непреходящих в веках установлениях, но непрерывно меняется под сильным воздействием идей, которые прекрасно «работали» прежде, и соображений, последствия применения которых пока что «сходят нам с рук». Такая точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в основе нашего те­перешнего математического понимания некоего алгоритма (или формальной системы), однако этот алгоритм не является чем-то неизменным, по мере обнаружения новых данных он подвергает­ся непрерывной модификации. К изменяющимся алгоритмам мы еще вернемся несколько позднее где и убедимся в том, что это по-прежнему все те же алгоритмы, только в ином обличье.

Разумеется, с моей стороны было бы наивным отрицать тот факт, что в методах, которые применяют в своей работе матема­тики, нередко присутствует элемент «доверия» процедуре, если она «до сих пор, кажется, работает». В моей собственной мате­матической практике такие предварительные, ориентировочные, нечеткие соображения составляют в общей совокупности рас­суждений весьма заметный процент. Однако они, как правило, обретаются в той области, которая «отвечает» за нащупывание нового, еще не сформировавшегося понимания, а никак не в той, где мы «складываем» неопровержимо, на наш взгляд, установ­ленные истины. Я очень сомневаюсь, что сам Фреге так уж ка­тегорически полагал свою систему абсолютно неопровержимой, даже не подозревая еще о парадоксе, о котором написал ему Рассел. Система суждений столь общего характера, что бы ни думал по ее поводу автор, всегда выдвигается на всеобщее обо­зрение с некоторой настороженностью. Лишь после длительного «периода осмысления» можно будет полагать, что она достигла, наконец, «уровня неопровержимости». Имея же дело с системой настолько общей, как система Фреге, в любом случае, как мне кажется, следует употреблять выражения вида «полагая систему Фреге обоснованной, можно считать справедливым то-то и то-то», а не просто утверждать эти самые «то-то и то-то» без упо­мянутой оговорки. (См. также комментарии к возражениям и.

Возможно, в настоящее время математики стали более осто­рожными в отношении того, что они готовы рассматривать как «неопровержимую истину» — эпоха осторожности сменила эпо­ху отчаянной дерзости (среди примеров которой работа Фре­ге занимает далеко не последнее место), пришедшуюся на ко­нецстолетия. С выходом на сцену парадокса Рассела и про­чих ему подобных необходимость в такой осторожности прояв­ляется особенно наглядно. Что же касается дерзости, то она, по большей части, уходит корнями в те времена, когда математи­ки начали потихоньку осознавать всю мощь канторовой теории бесконечных чисел и бесконечных множеств, выдвинутой им в начале того жевека. (Следует, впрочем, отметить, что сам Кантор знал о парадоксах, подобных парадоксу Рассела, — за­долго до того, как сам Рассел обнаружил тот, что был назван его именем), — и предпринимал попытки усовершенствовать свою формулировку с тем, чтобы, по возможности, учитывать подобные проблемы.) Цели и характер моих рассуждений на этих страницах также, несомненно, требуют крайней осторожности. И я безмерно рад, что нам с вами приходится иметь дело только с утверждениями, истинность которых неопровержима, и что нет никакой необходимости влезать в дебри бесконечных множеств и прочих сомнительных понятий. Важно помнить, что где бы мы ни провели черту, полученные с помощью доказательства Гёделя утверждения всегда остаются в рамках неопровержимо истин­ного (см. также комментарий к возражению). Само по себе доказательство Гёделя (—Тьюринга) не имеет абсолютно никако­го отношения к вопросам, связанным с сомнительным существо­ванием бесконечных множеств определенного сорта. Неясности, касающиеся тех самых исключительно вольных рассуждений, столь занимавших Кантора, Фреге и Рассела, ничуть не занима­ют нас — до тех пор, пока они остаются «сомнительными», не претендуя на звание «неопровержимых». Коль скоро мы со всем этим согласны, я никак не могу счесть правдоподобным допуще­ние, согласно которому математики действительно использу­ют в качестве основы для своего математического понимания и убеждений какую-либо необоснованную формальную систему F. Я надеюсь, читатель согласится с тем, что вне зависимости от того, возможна такая ситуация или нет, она, во всяком случае, невероятна.

Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей гипотетической системы, вернемся ненадолго к другим аспек­там человеческой «неточности», о которых мы говорили выше (см. комментарии к возражениям). Прежде всего повторюсь, нас в данном случае интересуют не вдохновение, не гениальные догадки и не эвристические критерии, способные привести математика к великим открытиям, но лишь понимание и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся его неопровержимые убеждения в отношении математических истин. Эти убеждения могут оказаться всего-навсего результатом озна­комления с рассуждениями других математиков, и в этом слу­чае о каких бы то ни было элементах математического открытия говорить, разумеется, не приходится. А вот когда мы нащупы­ваем путь к какому-то подлинному открытию, и впрямь весьма важно дать размышлениям свободу, не ограничивая их изначаль­но необходимостью в полной достоверности и точности (у меня сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринг в приведенной выше цитате, см.). Однако когда перед нами встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в поддержку неопровержимой истинности выдвигаемого математи­ческого утверждения, необходимо полагаться лишь на понимание и проницательность (нередко в сопровождении громоздких вы­числений), которым ошибки принципиально не свойственны.

Я вовсе не хочу сказать, что математики, полагающиеся на понимание, не делают ошибок, — делают, и даже часто: понима­ние тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к пониманию (хотя я, пожалуй, могу представить себе, каким об­разом подобные случайные обстоятельства могут порой привести человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важ­но — эти ошибки исправимы, их можно распознать как ошиб­ки, когда на них укажет какой-либо другой математик (или даже впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, когда пони­мание математика контролируется некоей внутренне ошибочной формальной системойв рамках такой системы невозможно распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможно­сти существования самосовершенствующейся системы, которая модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе противоречие, то о ней мы поговорим несколько позднее, «на подступах» к противоречиюТам же мы и обнаружим, что и от такого предположения в данном случае пользы мало; см. также)

Ошибки несколько иного рода возникают при неверной фор­мулировке математического утверждения; в этом случае выдви­гающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто совсем отличное от того, что он буквально утверждает. Впрочем, такие ошибки также исправимы и не имеют ничего общего с теми внутренними ошибками, причиной которых является понима­ние, опирающееся на необоснованную систему(Здесь уместно вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с возражением«Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!»). Мы с вами здесь для того, чтобы выяснить, что, в принципе, может (либо не может) быть установлено каким угодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только что рассмотренным, — т.е. исправимые ошибки — никакого от­ношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для всего нашего исследования момент: круг идей и понятий, доступ­ных математическому пониманию, непременно должен включать в себя центральную идею доказательства Гёделя—Тьюринга; на этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез воз­можность, а возможностьполагаем крайне невероятной. Как уже отмечалось выше (в комментарии к возражению), идея доказательства Гёделя—Тьюринга, безусловно, должна являться частью того, что, в принципе, в состоянии понять математик, даже если какое-то конкретное утверждение, на котором этот математик, возможно, основывается, ошибочно — лишь бы ошибка была исправимой.

С возможной «необоснованностью» предполагаемого алго­ритма математического понимания связаны и другие вопросы, о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются проце­дур «восходящего» типа — таких, к примеру, как самоусовер­шенствующиеся алгоритмы, алгоритмы обучения (в том числе и искусственные нейронные сети), алгоритмы с дополнительными случайными компонентами, а также алгоритмы, операции кото­рых обусловлены внешним окружением, в котором функциониру­ют соответствующие алгоритмические устройства. Некоторые из упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к возражению), подробнее же мы рассмотрим их при обсужде­нии случая, к каковому обсуждению мы как раз и приступаем.