Общее уравнение плоскости и его исследование
Здесь мы будем изучать общее уравнение плоскости (36.4), т.е. рассматривать как особые случаи, когда какие-либо (какой- либо) из коэффициентов A,B,C или D обращается в ноль (с учётом ограничительного условия (36.1), возможно 13 таких случаев), так и общий случай , когда
1.A=0. Тогда уравнение плоскости примет вид:
Эта плоскость имеет вид нормаль , т.е. она ортогональна вектору
. Однако вектор , так же ортогонален вектору
(используя формулу (24.9) (см. §24), непосредственно можно убедиться, что скалярное
произведение т.е. и поэтому данная плоскость коллинеарная вектору т.е оси Оx (она либо параллельна оси Ox либо проходит через нее, запись || Ox)
Остальные случаи рассматриваем аналогично. Составим таблицу особых случаев.
Таблица особых случаев
№ п/п | Условие на координаты | Уравнение плоскости | Геометрический смысл | Пояснения |
A=0 | By+Cz+D=0 | || OX | См. Выше | |
B=0 | Ax+Cz+D=0 | || OY | Аналогичный случай | |
C=0 | Ax+By+D=0 | || OZ | Аналогичный случай | |
D=0 | Ax+By+Cz=0 | (проходит через начало координат | Ибо координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости. | |
A=B=0 | z=-D/C | || плоскости | Составляем случай 1 и 2 | |
A=C=0 | y=-D/B | || плоскости | Составляем случай 1и 3 | |
B=C=0 | X=-D/A | || плоскости | Составляем случай 2 и 3 | |
A=D=0 | By+Cz=0 | ( плоскость проходит через ось Ox | Составляем случаи 1 и 4, плоскость коллинеарна оси Ox и проходит через одну из её точек | |
B=D=0 | Ax+Cz=0 | Составляем случай 2и 4 | ||
C=D=0 | Ax+By=0 | Составляем случай 3 и 4 | ||
A=B=D=0 | z=0 | Составляем случай 5 и 4 | ||
A=C=D=0 | Y=0 | Составляем случай 6 и 4 | ||
B=C=D=0 | x=0 | Составляем случай 7 и 4 |
14. Общий случай
Так же разделив обе части уравнения (36.4) на –D получим:
или
Обозначим далее за из последнего равенства имеем:
(36.6)
К уравнению (36.6) мы еще вернемся в § 38(п.38.5)