Моделирование случайных ошибок, подчиняющихся нормальному закону распределения. Моделирование систематических ошибок
Моделирование случайных процессов
Моделирование случайных процессов осуществляется с помощью моделирования случайных величин, подчиняющихся различным распределениям: равномерному, показательному, нормальному и др. Для получения таких случайных величин используется случайная величина X, равномерно распределенная на отрезке [0,1], из которой различными преобразованиями получают случайную величину, подчиняющуюся требуемому закону распределения.
Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [0,1], если ее плотность f(c) на этом отрезке постоянна и равна единице:
Функция распределения такой случайной величины X имеет значения
Случайные величины X, равномерно распределенные на отрезке [0,1], можно получить тремя способами: 1) используя таблицы случайных чисел; 2) с помощью генераторов (датчиков) случайных чисел; 3) программным путем с помощью ЭВМ (псевдослучайные числа). Псевдослучайные числа (точнее, псевдослучайная последовательность чисел) вырабатываются рекуррентным способом по специальным алгоритмам, в которых каждое последующее число получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Эти числа называются псевдослучайными, а не случайными, так как последовательности чисел, получаемых с помощью рекуррентных соотношений, являются периодическими. Однако период может быть выбран столь большим, что практически этот недостаток можно не учитывать.
Возможность моделирования случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [0,1], позволяет моделировать и непрерывную случайную величину, распределенную по любому закону F(x)=p(E<x). Функция распределения случайной величины E монотонно возрастает от 0 до 1.
Значения случайной величины E, распределенной по любому закону в интервале [а, b) с плотностью f(x), определяется из уравнения
Для каждой реализации величины X решается последнее уравнение относительно x1, т. е. определяется реализация величины Е.
Принцип моделирования случайной величины Е, равномерно распределенной в интервале [а, b), и случайной величины Е, распределенной по показательному закону.
Равномерно распределенная в интервале [а, b) случайная величина Е имеет в этом интервале постоянную плотность, равную
, откуда (1)
Используя в процессе моделирования каждую реализацию случайной величины X и преобразование (1), получаем последовательность случайных величин x, равномерно распределенных в интервале [а, b).
Случайная величина Е, распределенная в интервале [0, ¥) по показательному закону с параметром l, имеет плотность распределения
, откуда ,
Величина (1-c) так же, как и c, является равномерно распределенной на отрезке [0,1], поэтому . Таким образом, в процессе моделирования на основе многократной реализации случайной величины X и преобразования (1) получаем последовательность случайных величин x распределенных по показательному закону с заданным параметром l.
Есть также специальные методы моделирования для показательного распределения, g-распределения, и нормального распределения.
Пример специального метода для показательного распределения (экономичный метод). Пусть … … независимые случайные величины, равномерно распределенные в интервале [0,1]. … -расставленные в порядке возрастания величины … .
, . Тогда случайные величины , k=1,2,…n. Вычисление логарифма занимает около 30 элементарных операций. Данный метод экономичный, потому что логарифм надо вычислить один раз.
Особые требования к эксперименту следует предъявлять при системном подходе к исследованиям сложных строительных конструкций с использованием прямой и обратной связи между физическим и математическим моделированием . Однако ввиду того, что результат даже наиболее тщательно подготовленного эксперимента носит случайный характер, каждый раз в обязательном порядке необходимо завершать процесс анализом и оценкой степени риска от той или иной ошибки в полученных результатах с применением методов математической статистики. Если величина ошибки или риска настораживает, рекомендуется идти по пути ее уменьшения применением более точной методики наблюдений, устранением наиболее значительных помех и т.д.
Наибольшие погрешности в результатах эксперимента ( систематические , грубые и случайные) связаны с:
неоднородностью физико-механических и неточностью геометрических характеристик объекта исследований;
несовершенством устройств, создающих необходимое воздействие на объект;
изменением внешних условий;
погрешностью измерительного комплекса.
Систематическими считаются ошибки , повторяющиеся и одинаковые по всей серии наблюдений, проводимых единым методом с помощью одних и тех же измерительных приборов. Основная их особенность - то, что они входят в общую ошибку измерений, благодаря чему возможно в значительной степени их исключение с введением соответствующей поправки.
Один из способов уменьшения систематической ошибки - калибровка измерительных приборов до начала эксперимента. Для определения систематической ошибки измерительного комплекса во время эксперимента рекомендуется параллельно с измерением физических величин на исследуемом объекте устанавливать аналогичные величины тем же измерительным комплексом на объекте-эталоне, дающем возможность выполнять измерения другим методом, точность которого превышает точность метода, используемого в эксперименте.
Грубые ошибки по п. 1.4.5 настоящих методических рекомендаций вызываются резким изменением (флуктуацией) во время испытаний внешних условий, невнимательностью экспериментатора и пр. В отличие от систематической ошибки , характеризуемой неизменностью во всей серии испытаний, грубая присутствует не более чем в одном-двух испытаниях и характеризуется резким отличием по абсолютной величине от рядовых ошибок измерений.
Учесть ее заранее невозможно, поэтому необходимо повышать уровень подготовки и проведения испытаний. Если, вопреки тщательности эксперимента, появляются сомнения в каком-либо показателе, его отбрасывают. Во всех сомнительных случаях используются специальные статистические критерии, позволяющие объективно выделять в каждой серии измерений имеющиеся грубые ошибки [20].
Случайные ошибки различны по величине и непредсказуемы даже при измерениях, выполняемых одинаковым способом. Однако их распределение симметрично относительно нуля, т.е. при отсутствии систематических и грубых ошибок истинный результат измерений является математическим ожиданием соответствующей случайной величины.
В соответствии с ГОСТ 8.207-76 результаты прямых измерений параметров должны быть представлены в форме:
,
(1)
где - результат измерений (математическое ожидание); Δx - доверительные границы измеренной величины; Р - доверительная вероятность (надежность выполненных измерений), обычно в экспериментах принимаемая равной 0,9 и 0,95.
В подавляющем большинстве реальных испытаний при количестве повторяемых наблюдений n < 15 случайные ошибки измерений по п. 1.4.8 распределяются по нормальному закону. В этом случае характеристики измеренной величины, приведенные в (1), вычисляются по формулам:
;
,
(2)
где n - число результатов наблюдений одной величины; xi - i-тый результат наблюдения; t(p.f) - коэффициент Стьюдента, в зависимости от доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f = n - 1, определяемый по таблицам t-распределения; S(х) - среднее квадратическое отклонение результата измерений, оцениваемое по формуле:
,
(3)
Статистическая обработка результатов измерений используется при оценке одной величины (например, физико-механических характеристик материалов конструкций). В процессе же экспериментальных исследований строительных конструкций проводятся измерения большой группы однородных величин, хотя не всегда имеется возможность повторять измерения по 6 - 10 раз. В случае допущения о равной точности приборов одного типа можно получить достаточно достоверные доверительные интервалы Δх, используя при обработке результаты всех наблюдений. При этом число повторных наблюдений может быть сокращено не менее чем до двух.
Пусть выполнены измерения группы из т однородных величин и повторены п раз. Для каждой величины вычисляются выборочные средние значения и выборочные дисперсии:
;
,
(4)
Так как дисперсии равноточных измерений одинаковы, средняя квадратическая ошибка S(x) будет одинакова для всех :
,
(5)
а доверительный интервал Δx может быть установлен по формуле (2) с определением коэффициента Стьюдента при числа степеней свободы f = n - 1.
В случае принятия в качестве результата экспериментальных исследований таких физико-механических характеристик объекта u = f(x1, x2,..), которые получаются в результате математических действий с несколькими случайными величинами xt, каждая из которых измерена непосредственно с доверительными интервалами Δxt при одинаковой доверительной вероятности Р, доверительный интервал функции оценивается по формуле:
,
(6)
(t = 1, 2, …., k).
Важной темой, относящейся к сбору экспериментальных данных, является часто упускаемый из вида вопрос о систематических ошибках, вносимых в результат самим исследователем. Мы покажем, как он может стать невольным источником ошибки, и дадим рекомендации по устранению таких ошибок.
Решение большинства статистических задач связано с громоздкими вычислениями, которые отнимают много времени. Доверительные интервалы для больших выборок сужаются в 1 ]п раз, где п — число однократных процессов решения на АВМ. От величины этих интервалов зависит точность оценки статистических параметров. Следовательно, для того чтобы, например, удвоить точность, необходимо увеличить количество однократных процессов решения на АВМ (а следовательно, и используемое машинное время) в 4 раза. Поэтому оператор всегда пытается определить, оправдывает ли повышение точности те дополнительные затраты времени, ценой которых оно достигается.