Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

Свойства поверхностного интеграла первого рода.Для этого интеграла имеют место основные шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности.

16.4.3.3.1. Определение единичного вектора нормали к поверхности. Выражения для элемента площади поверхности.Предположим, что поверхность задаётся неявным уравнением (- непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален , т.е. является нормальным к вектором. Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , , . Теперь мы можем выразить элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскости: , , . В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде получим , т.е. , , , , поэтому , , , и . Мы уже пользовались этой формулой при вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла.

16.4.3.3.2. Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость.Пустьповерхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме выразим площадь через двойной интеграл по её проекции на плоскость Оху: . Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка такая, что . Значение подынтегральной функции будем вычислять в точке , такой, что . Тогда .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при (при этом и ) даёт

.

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Примеры. 1. Найти , где s - часть цилиндра x² + z² = 2x, вырезаемая гиперболоидом x² - y² + z² = 1 и плоскостью z = 0 (z > 0).

Решение: Найдем проекцию поверхности s на плоскость OXY. Исключим из уравнений цилиндра и гиперболоида переменную z:

2x = y²+1 - уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на OXY. Полагая в уравнении цилиндра z = 0, получим уравнение линии пересечения цилиндра и плоскости OXY. Таким образом, поверхность s проецируется в область D, ограниченную параболой x =(y²+1) и прямой x=2. Часть цилиндра, удовлетворяющая условию z>0, задается уравнением z = . Тогда = =. Таким образом, .

2. Найти , где s - полная поверхность цилиндра x²+y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

Решение: Искомый интеграл равен сумме трех интегралов: по нижнему и верхнему основаниям s₁ и s₂ и боковой поверхности (рис.18). Так как на нижнем основании z=0, то =0. Для верхнего основания s₂ имеем z(x,y)=1, ==0, поэтому поверхностный интеграл по s₂ совпадает с двойным интегралом от функции z(x,y)|xy| = |xy|, взятым по кругу D ={x²+ y²<1}:

Найдем интеграл по боковой поверхности. Она состоит из двух частей: s₃ и s₄ , симметричных относительно плоскости OYZ. Так как функция z|xy| - четная по x, то интегралы по s₃ и s₄ равны.

Проекция s₃ на плоскость OYZ - прямоугольник D:{-1 ≤ у ≤ 1, 0 ≤ z ≤1}. Уравнение s₃ : х=Отсюда:

Окончательно получаем:

3. Найти , где s - сфера x² + y² + z² = R².

Решение: Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы . Тогда

6.4.3.4. Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

6.4.3.4.1. Масса поверхности. Пусть на поверхности s распределена масса с поверхностной плотностью m(x,y,z). Тогда масса m поверхности равна

m = .

6.4.3.4.2. Статические моменты и центр масс. Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны соответственно

Координаты центра масс поверхности s равны x_c = , y_c = , z_c = .

6.4.3.4. 3. Моменты инерции. Момент инерции поверхности s относительно прямой L равен I_L=, где =r_L(x,y,z) - расстояние от точки (x,y,z), лежащей на поверхности s, до прямой L. В частности, моменты инерции относительно координатных осей OX, OY, OZ равны

, , .

Момент инерции относительно точки P(x₀,y₀,z₀) равен

Момент инерции относительно начала координат равен

Пример. Найти координаты центра масс полусферы x² + y² + z² = R², z £ 0, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси OZ.

Решение: Масса полусферы s равна

(Мы воспользовались тем, что интеграл равен четверти площади круга радиуса R т.е. ).

16.4. Поверхностные интегралы.