Замена переменных в тройном интеграле.

16.2.5.1. Теорема о за мена переменных в тройном интеграле.Пусть в пространстве Ouvw задана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область V пространства Oxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V; 2). Функции x(u,v,w),y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан не обращается в нуль на G. Тогда .

Доказательствоэтой теоремы аналогично доказательству теоремы о замене переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим наиболее часто употребляемые криволинейные системы координат в пространстве - цилиндрические и сферические.

16.2.5.2. Тройной интеграл в цилиндрических координатах. В этой координатной системе положение точки в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и z, где r и j - полярные координаты проекции M¹

точки М на плоскость Оху, z - аппликата точки M. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым:

Вычислим якобиан этого преобразования: , следовательно, .

16.2.5.3. Тройной интеграл в сферических координатах. В этих координатах положение точки M в пространстве характеризуется тремя числами: r, j и , где r - длина радиуса-вектора точки M, j - полярный угол проекции M¹ точки М на плоскость Оху, - угол между радиусом-вектором точки M и осью Oz. Формулы перехода от сферических координат к декартовым:

Вычислим якобиан этого преобразования: , следовательно, .

16.2.5.4. Примеры применения цилиндрических и сферических координат. Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём V, зависят от комбинации ; сферические - если эти уравнения зависят от . Рассмотрим ряд примеров.

1. Найти объём V общей части двух шаров, ограниченных сферами

Решение. Пересечение сфер находится на уровне и представляет собой круг радиуса . Объём V ограничен сверху поверхностью , снизу - поверхностью . Вычисления в декартовых координатах дают - достаточно громоздкие выкладки. В цилиндрических координатах объём V ограничен сверху поверхностью , снизу - поверхностью , поэтому

.

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид , верхней - , их пересечение соответствует значению . В интервале r меняется от 0 до R, в интервале r меняется от 0 до , поэтому

.

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

2.

Параболоид и конус пересекаются в плоскости по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма V служит ось Ох, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами

.

Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно (громоздкое уравнение для параболоида).

3. Здесь область интегрирования - шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси Оz на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения , поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы , поэтому .

4. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам (на это указывает комбинация ). Уравнение поверхности . По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты в уравнении показывает, что это - тело вращения вокруг оси Oz. Находим объём:

16.2.6. Механические приложения тройного интеграла. Пусть V - тело в пространстве, в котором задано распределение объёмной плотности массы (,, где G - область, содержащая точку Р, - масса этой области, - её объём). Вывод следующих формул полностью аналогичен выводу для двумерного случая (раздел 16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла), поэтому просто перечислим их.

Масса тела;

координаты центра тяжести , , ;

моменты инерции (относительно плоскости Oxz), (относительно плоскости Oyz), (относительно плоскости Oxy), (относительно оси Ox), (относительно оси Oy), (относительно оси Oz), (относительно начала координат).

Примеры. 1. Найти координаты центра тяжести половины шара радиуса , если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара.

Решение. Если ввести координатную систему так, как показано

на рисунке, то ; вычисления ведём, естественно, в сферических координатах:

; , аналогично (что, впрочем, очевидно и без вычислений); .

2. Найти моменты инерции однородного цилиндра относительно диаметра основания и оси.

Решение. Если система координат введена так, как показано на рисунке, то мы должны найти (или ) и . Вычисляем в цилиндрических координатах.

.

.

14.3. Несобственные кратные интегралы.

14.3.1. Несобственные интегралы по неограниченной области.Логика определения сходимости несобственного двойного, тройного, - кратного интеграла по неограниченной области такая же, как и для несобственного определённого интеграла: мы ограничиваем область, вычисляем интеграл по этой ограниченной области, и, затем, расширяя область интегрирования до исходной, смотрим, существует или нет конечный предел значения интеграла. Рассмотрим это более подробно для случая двойного интеграла.

Пусть в неограниченной области D определена функция . Построим бесконечную последовательность ограниченных областей , удовлетворяющую следующим условиям:

1.,

2. ,

3. для любой точки существует такой номер , что при .

Пусть теперь . Любая такая область ограничена. Рассмотрим последовательность значений интегралов . Если для любой последовательности существует конечный , то несобственный интеграл называется сходящимся, а значение предела - значением этого интеграла; если хотя бы для одной последовательности не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся.

Можно показать, что если подынтегральная функция сохраняет знак на области D, то для сходимости достаточно существования конечного для какой-либо одной последовательности . Очевидно, что для таких функций справедливы признаки сравнения. Другое важное свойство, которое мы вводили для сходимости несобственных определенных интегралов, свойство абсолютной сходимости, для кратных интегралов теряет смысл: оказывается, что если сходится , то обязательно сходится и

Рассмотрим два примера.

1. . Здесь область D - внешность круга радиуса 1. Выберем последовательность (кольца, ограниченные окружностями радиуса 1 и ), тогда , и () . Это выражение имеет конечный предел при , если . Случай исследуется отдельно и приводит к расходимости. Таким образом, исследуемый интеграл сходится при .

Упражнение. Самостоятельно доказать, что сходится при .

2. Цель этого примера - найти значение интеграла, который играет важную роль в теории вероятностей, при решении уравнений в частных производных и в большом числе других приложений - интеграла Пуассона .

Рассмотрим двойной интеграл по всей плоскости . В качестве областей выберем круги радиуса : , и в этом случае .
.

С другой стороны, если расписать двойной интеграл в виде повторного, получим , и так как , то .

14.3.2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.Структура множества точек, в окрестностях которых функция двух, трех и большего числа переменных может оказаться неограниченной, может быть достаточно сложной. Так, функция трёх переменных может быть неограниченной в окрестности одной точки , прямой , плоскости ; естественно, возможны более сложные случаи. Мы рассмотрим самый простой случай, когда функция неограничена в окрестности единственной точки.

Пусть функция двух переменных определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области всюду, за исключением точки . Возьмём бесконечную последовательность ограниченных областей , удовлетворяющую следующим условиям:

1.,

2. ,

Пусть теперь . В каждой такой области функция непрерывна. Рассмотрим последовательность значений интегралов . Если для любой последовательности существует конечный , то несобственный интеграл называется сходящимся, а значение предела - значением этого интеграла; если хотя бы для одной последовательности не существует или бесконечен, несобственный интеграл называется расходящимся.

И в этом случае можно показать, что:

1. если подынтегральная функция сохраняет знак на области D, то для сходимости достаточно существования конечного для какой-либо одной последовательности .

2. Для таких функций справедливы признаки сравнения.

3. Если сходится , то обязательно сходится и

Пример. . Здесь область D - внутренность круга радиуса 1. Выберем последовательность (круги радиуса ), тогда - кольцо , и () . Это выражение имеет конечный предел при , если . Случай исследуется отдельно и приводит к расходимости. Таким образом, исследуемый интеграл сходится при .

Упражнение. Самостоятельно доказать, что сходится при .

16.3. Криволинейные интегралы.

16.3.1. Введение.Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

В случае, когда в качествеберётся - прямолинейный отрезок (левая часть рисунка), и - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещения точки: . Это выражение можно трактовать двумя способами.

1. По определению скалярного произведения . Здесь, - угол между . Обозначим , тогда .

2. Если расписать скалярное произведение в координатной форме, то .

Пусть теперь - произвольная гладкая ограниченная кривая, и сила может меняться от точки к точке (правая часть рисунка). Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , и, считая, что дуга - прямолинейный отрезок - вектор длины , и сила вдоль этого отрезка постоянна и равна , получим, что работа вдоль этой дуги близка к (). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде

(где - угол между и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем дугам, получим выражения двух интегральных сумм: и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при приведёт к двум криволинейным интегралам: и . Первый из этих интегралов называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги; второй - криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координатам. Несмотря на то, что они описывают одну и ту же физическую величину, с математической точки зрения это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления прохождения кривой: (так как угол между силой и кривой входит в подынтегральную функцию в явном виде), в то время как криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления прохождения кривой: (вектор , координаты которого входят в интегральную сумму, меняется на вектор ).

Перейдём к формальным определениям.