Основные законы распределения дискретных случайных величин
Понятие о центральном моменте
Понятие о начальном моменте
Среднее квадратическое отклонение
Лекция 15.03.2013
Свойства дисперсии дискретной случайной величины
1) Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом её математического ожидания:
D(X) = M(X2) – M2(X)
Доказательство: имеем: D(X) = M[(X – M(X))2] = M[X2 – 2XM(X) + M2(X)] = M(X2) – M(2XM(X) + M(M(X2) = M(X2) – 2M2(X) + M2(X) = M(X2) – M2(X).
C помощь этого свойства доказывается второе:
2) Дисперсия постоянной величины С равна нулю.
D(C) = M(C2) – M2(C) = 0
3) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(CX) = C2D(X)
Доказательство: воспользуемся первым свойством D(CX) = C^2*M(C^2) – C^2*M2(X) = C2M(X2 /. . ..
4) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна сумме дисперсии этих величин: D(X+Y) = D(X) + D(Y)
Доказательство: Используем первое свойство дисперсии, имеем:
D(X+Y) = M[(X+Y)2] – M2(X+Y) = M(X^2+2XY+Y^2) – M^2(X+Y) = M(X^2) + 2M(X)*M(Y) + M(Y^2) – (M(X+Y))^2 = M(X^2) + 2M(X)*M(Y) + M(Y^2) – (M2(X) – 2M(X)M(Y) – M2(Y)) = D(X)+D(Y)
5) Дисперсия разности двух независимых случайных величин Х и Y равна СУММЕ их дисперсий:
D(X-Y) = D(X) + D(Y)
Действительно, D(X-Y) = D[X + (-Y)] и применим предудущее свойство = D(X) + D(-Y) = (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя в квадрат) = D(X) + (-1)2+ D(Y). Ч.т.д.
NB: методом математической индукции свойство 4) остаётся в силе и для любого конечного числа слагаемых.
NB: Если множество возможных значений дискретной случайной величины Х бесконечно, то её дисперсия определяется суммой сходящегося числового ряда:
D(X) = ∑ (i=1; ∞)[xi – M(X)]2*Pi
Def: Средним квадратическим отклонением Ḉ(Х) = (D(X))1/2
Def: Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание Хk, где k – натуральное число. Обозначается буквой «ню» с индексом k.
γk = М(Х)k, при k = 1 это будет математическое ожидание
По 1 свойству дисперсии D(X) = M(X)2 – M2(X)= γ 2- γ 12
Def: Центральным моментом порядка k сулчайной величины X называется математическое ожидание случайной величины [X – M(X)]k и обозначается µ k
µ 1 = 0, µ 2 = D(X) = γ 2- γ 12
Биномиальное распределение
Пусть осуществляется n испытаний, причём вероятность появления события А в каждом испытании равна p, и не зависит от исхода других испытаний. (Независимые испытания)
Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.
Поскольку вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления, а это противоположное событие, равна (1 – p) = q
Найдём вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз (m<n)
Пусть событие А наступило в первых m испытаниях и не наступило во всех последующих испытаниях (n – m). Это сложное событие можно записать в виде произведения:
АА…А*А_ А_... А_ - где А – m штук, А с чертой – n-m раз, общее число сложных событий, в которых событие А наступает m раз равно числу сочетаний из n элементов по m Сnm. При этом вероятность каждого сложного события оказывается равных рm*qn-m. Поскольку указанные сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Обозначим вероятность появления события А m раз в n испытаниях Рn(m) = Сnm* рm*qn-m = (n!/m!*(n-m)!)* рm*qn-m
Рассмотрим далее n независимых испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью Р. Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений события А в n испытаниях. Очевидно, что событие А может вообще не наступить, может наступить один, два и т.д. раз, и может наступить n раз. Следовательно, возможными значениями величины Х будут числа 0, 1, 2, … n.
Найдём вероятности всех возможных событий по формуле Рn(m) = Сnm* рm*qn-m,
Возьмём n = 0: Рn(0) = Сn0* р0*qn-0 = qn
Возьмём n =1: Рn(1) = Сn1 р1*qn-1
X | … | m | … | n | |||||
P | qn | Сn1 р1*qn-1 | Сn2 р2*qn-2 | Сnm рm*qn-m | pn | ||||
Построенный закон распределения дискретной случайной величины Х называется законом биномиального коэффициента
Найдём математическое ожидание М(Х) для биномиального распределения:
Очевидно, что Хi – число появлений события А в каждом испытании – представляет собой случайную величину со следующим распределением:
Хi | |||||
Рi | q | p |
M(Xi) = 0*q + 1*p = Рi
Но, т.к. Х = Х1+Х2+…Хn, то М(Х) = n*p
Найдём дисперсию D(X):
Хi2 | 02 | 12 | |||
Рi | q | p |
D(Xi) = M(Xi)2 – M2(Xi) = p(1-p) = pq
Значит, дисперсия для всех Х равна npq, а среднее значение Ḉ(Х) = (npq)1/2