Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

Понятие математического ожидания.

Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х с конечным множеством возможных значений. Величина Х считается заданной, если перечислены все её возможные значения, а так же вероятности, с которыми величина Х может принять эти значения. Указанный перечень всех её возможных значений и их вероятностей называется Законом распределения дискретной случайной величины.Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы.

В верхней строке выписываются все возможные значения х₁, х₂, … х_n величины Х. В нижней строке выписываются вероятности Р₁, Р₂, … Р_n значений х₁, х₂, … х_n.

Поскольку событие Х = х_i (I = 1, 2,…n) образуют полную группу несовместимых событий, то Р₁ + Р₂ + … + Р_n = 1.

Закон распределения полностью задаёт дискретную случайную величину. Однако, часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по её числовым характеристикам. Одно из таких числовых характеристик и является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина Х с конечным числом своих значений. Задана законом распределения (1. – см. таблицу).

Def: Математическим ожиданиемМ(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х на соответствующие вероятности:

М(Х) = х₁*Р₁ + … + х_n*Р_n

Теорема:Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближённо равно среднему арифметическому всех её значений (при достаточно большом числе испытаний).

Доказательство: Предположим, что произведено n испытаний, в которых дискретная случайная величина Х приняла значение: х₁, х₂, … х_k соответственно m₁, m₂, … m_k. При этом m₁+ m₂,+… + m_k = n

Тогда среднее арифметическое равно: (х₁ m₁+ х₂ m₂ +… + х_k m_k)/n

Или Х среднее равняется х₁* m₁/n + … +

Где величина Х приняла значение х_i (m₁/n относительное частоты х_i )

Или Х среднее = х₁Р₁* + … х_kР_k*

Из статистического определения вероятности следует, что Р₁*приближённо равняется Р₁ и т.д, тогда Х среднее приближённо равняется х₁Р₁+ … х_kР_k, где х_kР_k – математическое ожидание, т.е.

Х среднее приближённо равняется М(Х).

Таким образом, математическое ожидание случайной величины приближённо равно её математическому ожиданию (при достаточно большом числе испытаний). В связи с этим математическое ожидание случайной величины ещё называют её среднем значением.

1) Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине, т.е. М(С) = С

Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение С с вероятностью Р =1, поэтому М(С) = РС = С.

2) Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, т.е. М(С*Х) = С*М(Х).

Используем таблицу (1):

Тогда математическое ожидание: М(СХ) = С*х₁*Р₁ + …. + С*х_n*Р_n = С(х₁Р₁ + … + x_n*P_n) = С*М(Х)

Семинар 22.02.13

При составлении команды космического корабля, возникает вопрос о психологической совместимости отдельных членов экипажа. Допустим, что надо составить команду из трёх человек: Командир, Инженер, Хилер. На места командира есть 3 кандидата: а₁, а₂, а₃. На место инженера четыре кандидата: b₁, b₂,b₃,b₄. На место врача 2 кандидата: с₁, с₂.

ПровИденая проверка показала психологическую несовместимость командира а₂ с инженерами b₃,b₄ и с врачом с₂, а так же инженера b₂ с врачом с₂. Будем для простоты считать, что без учёта фактора несовместимости все варианты составления команды равновозможны. Какова в этом случае вероятность того, что будет составлен экипаж, все члены которого психологически совместимы друг с другом?