П Л А Н

Завдання додому

Конспект; [1] с. 342 – 354;

[2] с. 267 – 271.

Питання для самоконтролю

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.

Л Е К Ц І Я 22

Тема: Визначений інтеграл.

Мета: ознайомити з задачами, що приводять до поняття визначеного інтеграла, з означенням визначеного інтеграла та його властивостями, теоремою Ньютона-Лейбніца.

Література: [1, с. 365-385]; [6, с. 392-400].

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Означення визначеного інтеграла та його властивості.

3. Теорема Ньютона-Лейбніца.

1. До поняття визначеного інтеграла приводять такі задачі:

1) про площу криволінійної трапеції;

2) про об’єм просторового тіла;

3) про роботу змінної сили;

4) про пройдений шлях та інші.

Розглянемо одну з цих задач: про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку [а; b] задано функцію

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком даної функції у=f (x) (зверху), віссю абсцис (у=0) та відрізками прямих х=а, х=b (по боках).

Знайдемо S ABCD

y C Розіб’ємо відрізок [а; b] на n частинних

відрізків за допомогою точок

B а=х₀ < x₁ < x₂ <… <x_n = b

A D

0 a x₁ x₂ b x

x₀ x_n

Позначимо довжини частинних відрізків через x₁ =x₁– x₀; x₂ =x₂ – x₁; ...

x_i =x_i – x_i_-1;

x_n =x_n – x_n_-1;

Площа і – го прямокутника

Знайдемо суму площ всіх прямокутників, одержимо площу ступінчатої фігури:

Площа ступінчатої фігури наближено дорівнює площі криволінійної трапеції

S ABCD

Спрямуємо число частинних відрізків відрізка [а; b] до нескінченності

, тоді довжина кожного частинного відрізка буде прямувати до нуля (максимальна) ( max ), а площа ступінчатої фігури буде прямувати до площі трапеції, тобто:

- (границя суми нескінченно великого числа

нескінченно малих доданків)

Вираз називається інтегральною сумою, а границя її (якщо вона існує) - визначеним інтегралом.

а і b – відповідно нижня і верхня межа інтегрування;

- підінтегральна функція;

- підінтегральний вираз

- змінна інтегрування;

[а; b] – проміжок інтегрування.

Теорема 1 (достатня умова інтегрованості)

Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 2

Якщо функція обмежена на відрізку [а; b] і неперервна в ньому скрізь, крім скінченного числа точок, в яких функція має розрив першого роду, то вона інтегрована на цьому відрізку.

2. Властивості визначеного інтеграла.

1) Геометричний зміст – це площа відповідної криволінійної трапеції.