П Л А Н

Завдання додому

1) Конспект; [1] с. 330 – 336;

[2] с. 251 – 258.

Питання для самоконтролю

1. Первісна функція.

2. Невизначений інтеграл та його властивості.

3. Таблиця основних інтегралів.

Л Е К Ц І Я 20

Тема: Основні методи інтегрування.

Мета: ознайомити з основними методами інтегрування – безпосереднього інтегрування, підстановки (заміни змінної), інтегрування частинами.

Література: [1, с. 336-342]; [6, с. 345-353].

1. Метод безпосереднього інтегрування.

2. Метод підстановки (заміни змінної).

3. Метод інтегрування частинами.

1. Метод безпосереднього інтегрування.

Базується на властивостях невизначеного інтеграла і на таблиці основних інтегралів. Якщо необхідно, то виконують перетворення підінтегрального виразу.

Приклад: 1)

(інтеграл №5)

2)

3)

4)

5)

6)

2. Метод підстановки базується на властивості інваріантності невизначеного інтеграла:

Знайдемо

Правило. Якщо підінтегральний вираз містить похідну внутрішньої функції, то внутрішню функцію позначають новою змінною (через t):

Приклад: 1)

2)

3)

4) .

3. Нехай дано дві диференційовані функції: . Знайдемо диференціал їх добутку:

Формула інтегрування частинами

Приклад:

=.

Деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

1)

2)

3)

4)

5)

6) , де - поліном (многочлен цілих степенів);

і - дійсні числа.

7)

8)

9)

10)

11) , де - многочлен.

Зауваження: інтеграли 7-11 беруться частинами в тому випадку, якщо немає похідної від логарифмів і від обернених тригонометричних функцій.

Правило позначення через “u” i “dv”

1. Для інтегралів 1-4 через “u” позначають множник P (х) а через “dv” – вираз, що залишився.

2. Для інтегралів 5-6 немає різниці, яку функцію позначити через “u” (оборотні інтеграли).

3. Для інтегралів 7-11 через “u” позначаються логарифми або обернені тригонометричні функції, а через “dv” - Q (x) dx.

Приклад 1) =

=

=

2)

3)

4)