Унімодальна функція

Нехай, функція f(x) називається унімодальною на Х, якщо існує така точка що:

якщо

якщо

Легко бачити:

Y
X
1) Строго опуклі функції – унімодальні (мал. 1)

 

Y
2) Існують й не опуклі модальні функції (мал. 2)

 
 

 


3) Якщо унімодальна функція f досягає на Х значення inf f(x) тоді це обов’язково відбувається в точці Х* яка є єдиною точкою мінімуму.

Висновок: таким чином для неперервних функцій властивості унімодальності тотожно наявності в них єдиного локального мінімуму.

Лема 1:

Нехай функція f унімодальна на Х, , при цьому, тоді якщо , то x* , лежить фактично лівіше (), а якщо , то .

Чотири чисельних метода одновимірної оптимізації:

1. Метод простого перебору

2. Метод дихотомії (ділення відрізку навпіл)

3. Метод «золотого перетину»

4. Метод Фібоначчі

Суть методів полягає в побудові послідовностей відрізків вкладених один в одного, які містять точку мінімуму.

,

Тобто такі відрізки називаються відрізками локалізації мінімуму. Припустимо, що якщо не обумовлено протилежне, що використовується інформація лише про означення мінімізованої функції, число значень яких фіксоване.