П Л А Н

Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

2. с. 29-35

Питання для самоконтролю

1. Ранг матриці.

2. Методи обчислення рангу.

3. Теорема Кронекера - Капеллі.

Л Е К Ц І Я 7

Тема: Метод Жордана –Гаусса

Мета: ознайомити з методом Гаусса розв’язування систем лінійних рівнянь (інформативно), з методом Жордана-Гаусса, загальним та частинним розв’язками систем лінійних рівнянь

Література: [1, с. 25-31]; [6, с. 80-99].

1. Метод Гаусса* розв’язування систем лінійних рівнянь (інформативно)

2. Метод Жордана –Гаусса.

3. Загальний та частинний розв’язки систем лінійних рівнянь

* Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855) –видатний німецький математик, астроном, фізик, геодезист.

1. Нехай дана система лінійних рівнянь:

Суть метода Гаусса полягає в тому, що шляхом елементарних перетворень систему треба привести до трикутного вигляду (або трапецевидного (східчастого) вигляду): перше рівняння системи буде містити всі невідомі, крім першого; третє –всі невідомі, крім першого і другого і т.д.:

Якщо система рівнянь буде мати один розв’язок, то останнє рівняння буде містити тільки одне останнє невідоме; якщо безліч розв’язків, то крім останнього невідомого останнє рівняння буде містити ще хоча б одне невідоме.

Зворотній хід методу Гаусса: із останнього рівняння знайдемо х_n (у випадку 1 розв’язку) або одне із невідомих через послідуючі (у випадку безлічі розв’язків); підставляючи знайдене значення в передостаннє рівняння, знайдемо х_n_-1 і т.д.

Елементарні перетворення системи

1) Множення (ділення) довільного рівняння системи на число, відмінне від 0.

2) Додавання до обох частин одного з рівнянь системи відповідних частин другого рівняння, помножених на одне й те ж саме відмінне від 0 число.

В результаті елементарних перетворень одержимо еквівалентну даній систему. Еквівалентними (рівносильними) називаються системи, якщо вони мають одні й ті ж розв’язки.

Якщо для даної системи лінійних рівнянь записати розширену матрицю, то після виконання елементарних перетворень по методу Гаусса одержують рівними нулю елементи, що лежать нижче головної діагоналі.

2. Застосовуючи еквівалентні перетворення до системи лінійних рівнянь, можна одержати кожне із рівнянь в такому вигляді, коли кожне із рівнянь містить тільки одне (всі вони різні). Якщо розглядати розширену матрицю системи, то в цьому випадку рівними нулю будуть не тільки елементи, що лежать нижче головної діагоналі, а й ті елементи , що лежать вище головної діагоналі. В цьому заключається метод Жордана*-Гаусса.

* Каміль Жордан (1838-1922) –французький математик

В процесі елементарних перетворень системи можуть бути такі випадки:

1) Одержимо рівняння:

Таке рівняння викидається із системи і система буде містити менше число рівнянь.

2) Одержимо рівняння де . В цьому випадку система несумісна (розв’язків немає).

Зауваження: Так як елементарні перетворення виконуються над рівняннями системи, то в розширеній матриці їх потрібно застосовувати тільки до рядків.

Мета перетворень: в кожному рядку вибрати ведучий елемент; а в кожному стовпці одержати нулі, крім ведучого елемента.

Невідомі, які відповідають базисним стовпцям матриці називаються базисними, а інші невідомі називаються вільними (у випадку, коли система має безліч розв’язків).

3. Загальним розв’язком системи лінійних рівнянь (у випадку безлічі розв’язків) називається розв’язок, в якому базисні невідомі виражені через вільні невідомі.

Частинними розв’язками системи називаються розв’язки, в яких вільні невідомі дорівнюють яким-небудь числам.

До частинних розв’язків належать:

-базисний (якщо усі вільні невідомі дорівнюють 0);

-фундаментальний (якщо одну вільну невідому прирівняти до 1, а інші до 0) (кількість фундаментальних розв’язків залежить від кількості вільних невідомих);

-невід’ємний базисний розв’язок –опорний

Якщо в результаті перетворень матриці одержимо число базисних стовпців рівне числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо число базисних стовпців менше числа невідомих, то система має безліч розв’язків.

Приклад 1: Розв’язати систему методом Жордана-Гаусса:

~ ~

~ одержали 4 рядки одинакові –це значить, що в системі буде 4 однакових рівняння, тому 3 з них можна відкинути, тобто в матриці можна викреслити 3 рядки.

~ ~

Базисних стовпців 2 (третій і четвертий), а невідомих 5. Так як число базисних стовпців менше числа невідомих, то система буде мати нескінченну множину розв’язків.

х₃, х₄ –базисні невідомі

х₁, х₂, х₅ -вільні невідомі

Знайдемо загальний розв’язок системи: