Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Нехай точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних коливаннях однакової частоти:

(5.19)

, (5.20)

де А і В, α і β – відповідно амплітуди і початкові фази першого і другого коливань.

Встановимо рівняння траєкторії точки, виключивши із (5.19) і (5.20) час . Для цього перепишемо (5.19) і (5.20) у вигляді

, (5.21)

. (5.22)

Помноживши (5.21) на і (5.22) на та взявши різницю між отриманими рівняннями, одержимо

. (5.23)

Помноживши (5.21) на і (5.22) на та взявши їх різницю, одержимо

. (5.24)

Складаючи квадрати рівнянь (5.23) і (5.24), знайдемо рівняння траєкторії

. (5.25)

Рівняння (5.25) є рівнянням еліпса, характеристики якого визначаються значенням різниці початкових фаз (β – α).

Розглянемо частинні випадки:

1) Нехай де ; тоді а і рівняння (5.25) матиме вигляд

або .

Ми отримали рівняння прямої

яка проходить через початок координат і утворює з віссю ОХ кут, тангенс якого рівний . Таким чином, результуючий рух в цьому випадку є коливанням по заданому відрізку прямої.

2) Нехай ; тоді . Траєкторією результуючого руху тепер буде еліпс, який описується рівнянням

. (5.26)

При (5.26) переходить у коло. При проміжних значеннях утворюються еліпси з різною орієнтацією своїх осей відносно осей координат.

Якщо взаємно перпендикулярні коливання відбуваються з різними частотами, то результуючі траєкторії мають більш складний вигляд; ці траєкторії у випадках кратних частот називаються фігурами Ліссажу.