Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
Розділ 5. Коливання і хвилі
Коливаннями називають процеси, які повторюються з певною періодичністю. В залежності від механізму виникнення коливань розглядають механічні, електромагнітні, електромеханічні і т. п. коливання, а в залежності від характеру сил, що діють на коливну систему, – вільні (власні), згасаючі, вимушені тощо.
Розгляд почнемо з власних механічних коливань горизонтального пружинного маятника, який складається з тіла масою m, закріпленого до кінця пружини, що жорстко прикріплена до стінки (рис. 5.1).
Якщо вивести тіло з положення рівноваги, то на нього почне діяти повертаюча сила пружної деформації пружини, яка задається законом Гука 
. Якщо знехтувати тертям і масою пружини у порівнянні з масою тіла, то при невеликих деформаціях пружини закон руху – ІІ закон Ньютона – запишеться як
, (5.1)
де k – коефіцієнт пружності (жорсткість пружини), х – зміщення тіла від положення рівноваги, ах – прискорення вздовж осі Х. В подальшому всяку силу, пропорційну до зміщення і напрямлену до положення рівноваги, будемо називати квазіпружною, незалежно від її природи.
Оскільки прискорення 
, то (5.1) можна переписати як
або
. (5.2)
У рівнянні (5.2) 
, тому можна ввести позначення
, (5.3)
де 
називають власною циклічною частотою коливань.
Підставляючи (5.3) у (5.2), одержимо диференціальне рівняння коливань не тільки пружинного маятника, але усякого тіла (матеріальної точки), на яке діє квазіпружна сила:
. (5.4)
Легко показати, що розв’язком цього рівняння є гармонічні функції (рис. 5.2)
або 
. (5.5)
Коливання, в яких зміна фізичної величини в залежності від часу відбувається за законом синуса або косинуса, називаються гармонічними. В (5.5): А – амплітуда коливань – найбільше значення коливної фізичної величини (у даному випадку, максимальне зміщення від положення рівноваги), 
– фаза коливань, a – початкова фаза.
Проміжок часу, протягом якого здійснюється одне повне коливання, називається періодом коливань Т. Зрозуміло, що 
, оскільки гармонічні функції повторюються через 2p. Звідси циклічна частота
(5.6)
де 
– лінійна частота, як кількість коливань, здійснених за одиницю часу.
Для пружинного маятника 
, тому період коливань
. (5.7)