Асимптоти графіка функції

Означення. Нехай для функції y = f(x) існує така пряма, що відстань від поточної точки М( x, f(x)) графіка функції до цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки М в нескінченність вздовж графіка функції. Тоді така пряма називається асимптотою графіка функції (рис. 4.5).

Залежно від розташування на координатній площині розрізняють вертикальні і невертикальні асимптоти.

Вертикальна асимптота має рівняння вигляду x = a. Згідно з означен-ням асимптоти пряма x = a є асимптотою тоді і тільки тоді, коли при x ® a значення функції y = f(x) необмежено зростають, тобто . Одержуємо правило: якщо , то пряма x = a є вертикальною асимптотою графіка цієї функції.

Рівняння невертикальної асимптоти можна записати у вигляді y = kx + b. При віддаленні точки М( x, f(x)) графіка функції в нескінченність в цьому випадку буде x ® ¥. Відповідно до означення асимптоти пряма y = kx + b буде невертикальною асимптотою функції y = f(x) тоді і тільки тоді, якщо (f(x) - (kx + b)) ® 0 при x ® ¥. В такому разі і при x ® ¥, тобто , звідки

. (4.8)

Далі: , звідки

. (4.9)

Одержуємо правило: якщо існують границі (4.8) і (4.9), то пряма y = kx + b є невертикальною асимптотою графіка функції y = f(x). Якщо при цьому k = 0, то асимптота називається горизонтальною, а якщо k ¹ 0, то похилою. Якщо хоча б одна з границь (4.8), (4.9) не існує, то графік функції невертикальної асимптоти не має.

Приклад. Знайти асимптоти графіка функції .

Розв'язання. Оскільки функція означена на всій осі, крім точки x = 2, то вона неперервна всюди, крім x = 2.Тому вертикальна асимптота може існувати лише в цій точці. Маємо

,

оскільки функція нескінченно мала при x ® 2. Отже пряма x = 2 - вертикальна асимптота.

Знайдемо невертикальні асимптоти. Для цього обчислимо границі (4.8) та (4.9):

3;

= =1.

Таким чином невертикальна асимптота існує і її рівняння y = 3x + 1 (асимптота похила).