Дійсні числа. Деякі числові множини

Одним з найголовніших об’єктів, які досліджує математика, є величина. Поняття величини настільки широке і всеосяжне, що йому важко дати точне означення. В найпростішому випадку величиною можна вважати те, що, будучи виражене в певних одиницях виміру, характеризується своїм числовим значенням, тобто числом. Математика абстрагується від фізичного чи іншого змісту величини і, говорячи про величини, має на увазі саме їх числові значення. Звідси випливає необхідність розгляду множин, елементами яких є числа – числових множин. Із шкільного курсу відомі такі числові множини, як

1) Множина натуральних чисел N =;

2) Множина цілих чисел Z =;

3) Множина раціональних чисел Q =;

4) Множина дійсних чисел R =, де Z, ... – цифри десяткової системи числення, тобто є десятковий дріб (скінчений або нескінчений).

Множина дійсних чисел складається з раціональних і ірраціональних чисел. Раціональне число є або цілим числом, або скінченим чи періодичним десятковим дробом. Ірраціональне число – нескінченний неперіодичний дріб. Кожна з перелічених множин містить у собі всі попередні, тобто

N Ì Z Ì Q Ì R.

На множині дійсних чисел виконуються дії додавання, віднімання, множення і ділення, правила і властивості яких відомі з курсу середньої школи. Для наочного зображення дійсних чисел користуються числовою прямою або координатною віссю. Кожному числу х Î R відповідає певна точка числової прямої і, навпаки, кожній точці прямої відповідає певне число. Тому часто замість „число х” кажуть „точка х”.

Найбільш уживаними множинами дійсних чисел є числові проміжки, для яких існують спеціальні позначення і назви:

– відрізок, або сегмент;

– інтервал;

– півінтервали.

Тут і – дійсні числа, при чому . Ці числа називають кінцями відповідних проміжків, а перелічені проміжки називають скінченними. В аналізі розглядаються і нескінченні проміжки:

– нескінченні півінтервали;

– нескінченні інтервали.

Множину всіх дійсних чисел R позначають як нескінченний інтервал . Слід зазначити, що символ не є числом, і будь-які арифметичні дії з ним не мають змісту. Числовим проміжкам природним чином відповідають проміжки на числовій прямій, так відрізкові відповідає на числовій прямій відрізок такий, що точка має координату , а точка – координату . Інтервалові відповідає той самий відрізок, але без своїх кінцевих точок.

Околом даної точки називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Інтервал , де , називається -околом точки і позначається . Очевидно

.

Проколеним околом точкиназивається множина всіх точок околу , окрім самої точки . Проколений -окіл точки позначається

.