Движение твердого тела

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Я лекция. Механика твердого тела

Движение центра масс твердого тела. Момент импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Момент инерции. Теорема Штейнера. Уравнение динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Условия равновесия твердого тела.

Во введении мы познакомились с двумя основными видами движения твердого тела — поступательным и вращательным.

При поступательном движении все точки тела получают за один и тот же промежуток времени равные по величине и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра инерции) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и угловую скорость тела в каждый момент времени.

Оказывается, что любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух указанных выше основных видов движения. Покажем это для случая плоского движения, т. е. такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости (рис. 82).

Произвольное перемещение твердого тела из положения 1 в положение 2 (рис. 83) можно представить как сумму двух перемещений — поступательного перемещения из положения 1 в положение 1' или 1" и поворота вокруг оси О' или оси О''.

Очевидно, что такое разбиение перемещения на поступательное и вращательное может быть осуществлено бесчисленным множеством способов, однако в любом случае производится поворот на один и тот же угол φ.

В соответствии со сказанным выше элементарное перемещение какой-либо точки тела ds можно разложить на два перемещения — «поступательное» ds_n и «враща­тельное» ds_в

причем ds_n для всех точек тела одно и то же.

Такое разложение перемещения ds можно, как мы видели, осуществить различными способами, причем в каждом случае вращательное перемещение ds_в осуществляется

поворотом тела на один и тот же угол dφ (но относительно различных осей), в то время как ds_n и ds_в оказываются различными.

Разделив ds на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки v:

где v₀ — одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и v' — различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением.

Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух движений — поступательного со скоростью v₀ и вращательного с угловой скоростью ω (вектор ω на рис. 82 направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж). Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями v₀ и v', но соответствующих одной и той же

угловой скорости ω. Например, движение цилиндра, катящегося без скольжения по плоскости (рис. 82), можно представить как поступательное движение со скоростью v0 и одновременное вращение с угловой скоростью ω вокруг оси О, либо как поступательное движение со скоростью v0'' = 2v0 и вращение с той же угловой скоростью ω вокруг оси О", либо, наконец, как одно только вращение опять-таки с той же угловой скоростью ω и вокруг оси О'.

Назвав систему отсчета, относительно которой мы рассматриваем сложное движение твердого тела, неподвижной, движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью ω в системе отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно со скоростью v₀.

Линейная скорость v' точки с радиусом-вектором r, обусловленная вращением твердого тела, равна (рис. 84)

Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела может быть представлена в виде

Существуют такие точки (они могут лежать в пределах тела, либо вне его), которые, участвуя в обоих движениях— поступательном и вращательном, будут неподвижными. В самом деле, при заданных v₀ и ω всегда можно найти такое r, что (34.1) будет равно нулю. Пусть в данный момент движущаяся поступательно система отсчета имеет скорость v₀ (рис. 85). Тело в этой системе вращается с угловой скоростью ω в направлении, указанном стрелкой. Скорость v', обусловленная вращением, имеет для различных точек значения, показанные на рисунке. Для точки О' скорости v₀ и v' равны по величине и противоположны по направлению. Следовательно, скорость этой точки относительно неподвижной системы отсчета равна нулю.

Вместе с тем, если имеется хотя бы один вектор r, который при векторном перемножении с ω даст вектор,

равный — v₀, то существует еще ряд векторов, которые при векторном перемножении ω дают такой же результат; векторное произведение ω на любой из изображенных на рис. 86 векторов r имеет одинаковую величину и направление. Точки, определяемые этими радиусами-векторами, будут в рассматриваемый момент времени неподвижными. Эти точки, как видно из рисунка, лежат на одной прямой и образуют так называемую мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы отсчета и относительно самого тела, вообще говоря, меняется со временем. В случае катящегося цилиндра (рис.82) мгновенная ось О' совпадает с линией касания цилиндра с плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (т. е. относительно неподвижной системы отсчета), так и но поверхности цилиндра.