ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМОГО ИЗМЕРЕНИЯ

Ошибки

Виды измерений

ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. ОШИБКИ

Измерением какой-либо величины называется операция, в результате которой мы узнаем, во сколько раз измеряемая величина больше (или меньше) соответствующей величины, принятой за эталон (единицу измерения). Все измерения можно разбить на два типа: прямые и косвенные.

ПРЯМЫЕ — это такие измерения, при которых измеряется непосредственно интересующая нас физическая величина (масса, длина, интервалы времени, изменение температуры и т.д.).

КОСВЕННЫЕ — это такие измерения, при которых интересующая нас величина определяется (вычисляется) из результатов прямых измерений других величин, связанных с ней определенной функциональной зависимостью. Например, определение скорости равномерного движения по измерениям пройденного пути промежутка времени, измерение плотности тела по измерениям массы и объема тела и т.д.

Общая черта измерений — невозможность получения истинного значения измеряемой величины, результат измерения всегда содержит какую-то ошибку (погрешность). Поэтому, чтобы указать, насколько полученный результат близок к истинному значению, вместе с полученным результатом указывают ошибку измерения.

Например, мы измерили фокусное расстояние линзы f и написали, что

f = (256 ± 2) мм (1)

Это означает, что фокусное расстояние лежит в пределах от 254 до 258 мм. Но на самом деле это равенство (1) имеет вероятностный смысл, имеется лишь некоторая вероятность этого, поэтому равенство (1) нужно дополнить еще указанием вероятности, с которой это соотношение имеет смысл (ниже мы сформулируем это утверждение точнее).

Обычно рассчитывают абсолютную и относительную ошибку. Абсолютной ошибкой Δx называется разность между истинным значением измеряемой величины μ и результатом измерения x, т.е.

Δx = μ – x

Отношение абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины

и называется относительной ошибкой .

Абсолютная ошибка характеризует погрешность метода и действий, которые были выбраны для измерения.

Относительная ошибка характеризует качество измерений. Точностью измерения называют величину, обратную относительной ошибке, т.е. 1/ε.

Классификация ошибок

Все ошибки измерения делятся на три класса: промахи (грубые ошибки), систематические и случайные ошибки.

ПРОМАХ вызван резким нарушением условий измерения при отдельных наблюдениях. Это ошибка, связанная с толчком или поломкой прибора, грубым просчетом экспериментатора, непредвиденным вмешательством и т.д. грубая ошибка появляется обычно не более чем в одном–двух измерениях и резко отличается по величине от прочих ошибок.

СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ОШИБКОЙ называют составляющую погрешности измерений, остающуюся постоянной и закономерно изменяющуюся при повторных измерениях одной и той же величины. Такие ошибки возникают из-за того, что:

a. неточны измерительные приборы;

b. реальная установка в чем-то отличается от идеальной;

c. не совсем верна теория явления, т.е. не учтены какие-то эффекты (трение, неравномерная шкала, стрелка прибора при отсутствии тока не стоит на нуле).

Как поступать в первом случае, мы знаем, — нужна калибровка или градуировка. В двух других случаях готового рецепта не существует.

Максимальная абсолютная ошибка, даваемая данным прибором , написана на приборе (штангенциркуль) или указывается с помощью класса точности прибора, который изображается на шкале прибора соответствующим числом, чаще всего взятым в кружок. Число, обозначающее класс точности, показывает максимальную относительную ошибку прибора, выраженную в процентах при измерениях величины на верхнем пределе шкалы.

Пример: вольтметр, имеет шкалу от 0 до 250 В, класс точности его – 1. Это значит, что максимальная относительная ошибка, будет не больше 1% при измерениях наибольшего значения напряжения, которое можно измерить на этой шкале прибора, иначе говоря:

δ = ±0.01·250В = ±2.5В. (1)

Класс точности электроизмерительных приборов определяет максимальную абсолютную погрешность, величина которой не меняется при переходе от начала к концу шкалы. Относительная ошибка при этом резко меняется, потому приборы обеспечивают хорошую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу и не дают ее при измерениях в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбрать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы. Если класс точности прибора не указан и нет паспортных данных, то в качестве максимальной ошибки прибора берется половина цены наименьшего деления шкалы прибора.

СЛУЧАЙНОЙ ОШИБКОЙ называют составляющую погрешности измерений, изменяющуюся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений позволяет уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений. Ниже будет показано, что для этого необходимо произвести не одно, а несколько измерений, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно провести.

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:

x₁, x₂, x₃, ... x_n (1)

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Оценка разультата измерения .

Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений µ в виде

x = ± Δx. (2)

Так как оценочные значения результата измерений x и ошибки Δx не являются точными, запись (2) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P, т.е. вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (2). Этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (1), найти оценку результата измерений, его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

, (3)

где Δx — отклонение от величины истинного значения; σ — истинная среднеквадратичная ошибка;

σ ² — дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (3) функция имеет максимальное значение при Δx = 0, кроме того, она является четной. На рис.1 показан график этой функции. Смысл функции (3) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx₁ и Δx₂ (коричнево-зеленая площадь на рис.1) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx₁,Δx₂).

где – n число измерений. Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению x измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

(6)

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

. (7)

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

(8)