Геометрический смысл смешанного произведения

Если > 0, значит векторы образуют правую систему (т.е. имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный, и пальцы правой руки и её ладони)

Если < 0, значит векторы образуют левую систему (аналогично для пальцев и ладони левой руки).

Рис. 27.1

Абсолютная величина смешанного произведения -это объём паралелепипида стороны которого составляют вектора

(27.1)

Однако первый множитель в правой части равенства (27.1) это площадь параллелограмма OADB (см условие 2)определения векторного произведения (§25.1, 25.1)т.е. площадь основания паралелелипипеда . Проекция третьей стороны паралелепипеда на перпендикуляр опускаемый на основание OADB (см. условие 1) (определение векторного произведения в начале параграфа 25) – это опущенная на OADB высота данного паралелепипеда. Поэтому их произведение-это объём паралелепипеда