Ассоциативность
Свойства линейного пространства
1) 
+ 
= + (очевидно, если сложить по правилу параллелограмма)
2) (+ ) + 
= + (+)
3) +
=
4) + (-) =
5) λ(+) = λ+ λ
6) (λ + μ)= λ+ μ
7) (λμ)= λ(μ)
8) 1×=
Докажем свойства 2) ÷ 8):
С
+ = 
+ = 
+ (+) = 
+ = 
(14.1)
(+ ) += +
= (14.2) В
(14.1) = (14.2)
О А
Рис 14.3
3) 
+ 
=
4)По определению:– = + (-).
= ,тогда -= 
: – = + (-) = += 
=
5)Пусть 
0 , 0, λ 0 (иначе 5-е свойство становится тривиальным: 
= , или ( при = 0); λ= λ), предположим: и неколлинеарные.(случай || будет доказан в §16 п.16.2)
Пусть точка О – начальная точка вектора.(см. рисунок 14.4)
|
|
= = λ=
λ=
Также: ||
(т.к. λ|| ) и 
OAB = OA`B`.
Также: 
О А А’
Рис 14.4
Поэтому ΔOA`B` ~ ΔOAB, B`OA` = BOA , т.е точка B лежит на прямой OB’.
Но ` = ` + 
= λ + λ(14.3);
= + = + (14.4)
`|| , т.к. ∆OAB ~ ∆OA’B’ 
, 
т.е. (14.5)
Подставляем (14.3) и (14.4) в (14.5) получаем λ+ λ= λ(+ ).
6)Можно полагать, что λ 0, μ 0, 0, иначе свойство (6) становится тривиальным:
= .
(или при μ = 0, λ= λ)по определению (см.14.2 , правило 1)считаем, что λ║ , μ║ → (λa + μ) ║ (14.7)
и (λ + μ)||
(14.8).
Из (14.7) и (14.8) следует, что (λ+ μ) || λ+ μ.
Далее надо рассматривать следующие случаи:
а) λ > 0 , μ > 0
б) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ > 0
в) λ > 0 , μ < 0 , λ + μ < 0
г) λ < 0 , μ < 0
Рассмотрим, например, случай (б): т.к. λ + μ > 0, то (λ + μ)↑↑, λ↑↑, μ↑↓ , т.е. μ↑↓λ.
Поэтому вектор 
коллинеарен как
, так и 
, и направлен в сторону более
длинного вектора, т.е. .
(14.10)
Из случая (б) имеем: 
, т.е. 
из (14.10) следует 
(14.11)
т.е. векторы 
и имеют одинаковую длину.
Заметим, что 
, ибо имеет большую длину, чем
Поэтому 
и случай б) доказан
(Остальные случаи читателю предоставим рассмотреть самостоятельно.)
7)Заметим, что 
(14.12)
т.е. (см 14.12)); 
(14.13)
Покажем, что
(14.14)
Для чего рассмотрим следующие случаи:
а) 
б) 
в) 
г) 
Рассмотрим, например, случай (в) (остальные случаи просим читателя рассмотреть самостоятельно):
и потому 
(14.15)
также 
, 
, т.е. 
(14.16)
сопоставляя (14.15) и (14.16), получим (14.14).
8) 
и 
, т.е. 
§15. Линейно – зависимые векторы и их свойства
Определение:
Система векторов 
называется линейно-зависимой (л.з.), если 
, не все из которых = 0 и 
.
Определение:
линейно выражается через 
, если 
, что 
Свойства:
1) Если система содержит нуль-вектор, то она линейно зависима: 
= .
2) Если система имеет линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.
, т.к. 
3) Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные векторы.
, если 
, то 
Если же 
, то 
и система 
линейно зависима.