Формула Крамера

Рассмотрим систему:

(8.1)

(8.2)

Заменим k-й столбец на столбец свободных коэффициентов;

получим определитель (k = 1, 2, …, n); (8.3)

умножим далее первое уравнение (8.1) на ;

2-е уравнение (8.1) на ;

3-е уравнение (8.1) на ;

…;

n-ое уравнение (8.1) на

и затем, суммируя уравнения системы (складываем по столбцам), получим:

(8.4)

Коэффициентом при в левой части уравнения (8.4) является сумма произведений элементов j-го столбца определителя Δ (j = 1, 2, …, n) на алгебраические дополнения k-го столбца, которые равны нулю, если j≠k (см. 12-е свойство определителя; §2) и самому определителю Δ, если j=k (см. 11-е свойство определителя; §2). Правая же часть равенства (8.4) — разложение по k-му столбцу определителя . Получим равенства:

(k = 1, 2, …, n) (8.5)

Если Δ≠0, то поделив все равенства (8.5) на Δ, получим:

(8.6)

Определение: Равенства (8.6), где k = 1, 2, …, n, называются формулами Крамера.

Отметим, что если Δ=0, а хотя бы одно из ≠0, (8.7)

то тогда k-е равенство в (8.5) будет противоречивым, и поэтому в этом случае система (8.1) несовместна.

На примере системы: читателю предлагается самостоятельно доказать, что условие (8.7) достаточно для несовместности системы (8.1), но для n ≥ 3 не является необходимым.