Системы n линейных уравнений с n неизвестными их решение с помощью обратной матрицы

Матричная форма записи m линейных уравнений с n неизвестными

Положим: ; ;

Тогда система (6.1) переходит в матричное уравнение:

. (6.2)

(Система линейных уравнений (6.1) эквивалентна одному матричному уравнению (6.2))

(7.1)

(Система (7.1): n-уравнений с n неизвестными)

Соответствующее матричное уравнение имеет вид: (7.2)

Если матрица системы А не вырождена, то у нее существует обратная матрица . Умножая обе части уравнения (7.2) слева на матрицу , получим: , т.е.

(7.3)

Мы показали, что справедлива теорема 7.1. Если матрица системы невырожденная, то система определена и её решение можно найти по формуле (7.3). Формула (7.3) даёт решение системы (7.1) с помощью обратной матрицы.

Рассмотрим пример: .

Матрица системы: ; тогда обратная матрица (см. пример в §5, п. 5.10): . Тогда из (7.3) имеем: , т.е. = –8; =5 (умножение матрицы на столбец предлагаем читателю провести самостоятельно).