Пример 9.1
Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,
3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,
x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
Решение. Будем находить ранги матриц A и методом элементарных преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
Очевидно, что r(A) = r() = 2. Исходная система равносильна следующей системе, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,
- 4x2 + 7x3 + 7x4 = 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их можно принять в качестве главных (базисных) и переписать систему в виде:
x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,
- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда
x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4,
x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4
x3=C3
x4=C4
x5=C5
- общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 (или произвольным константам С1,С2, С3) конкретные числовые значения, будем получать частные решения. Например, при x3 = x4 = x5 = 0
x1= 5/4,
x2 = - 1/4.
Вектор C=(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.