Позиционные системы счисления

Системы счисления

ИНФОРМАЦИОННО-ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (слова или знаки), называемые базисными числами, а все остальные числа получаются в результате каких-либо операций из базисных чисел данной системы счисления. Символы, используемые для записи чисел, могут быть любыми, только они должны быть разными и значение каждого из них должно быть известно. В современном мире наиболее распространенным является представление чисел посредством арабских цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – специальных знаков, используемых для записи чисел. Системы счисления различаются выбором базисных чисел и правилами образования из них остальных чисел. Например, в "римской" системе счисления базисными являются числа 1,5,10,50,100,500,1000, которые обозначаются знаками I, V, X, L, C, D, M, а другие получаются путем сложения и вычитания базисных: если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются; если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой. Так, например, число 146 в "римской" системе счисления имеет вид CXLVI (C - 100, XL - 40, VI - 6), здесь "сорок" получается посредством вычитания из "пятидесяти" числа "десять", "шесть" - посредством сложения "пяти" и "единицы". Системы счисления, в которых любое число получается "путем" сложения или вычитания базисных чисел, называются аддитивными. При таком представлении чисел правила сложения для небольших чисел очевидны и просты, однако если возникает необходимость выполнять операции сложения над большими числами или операции умножения и деления, то "римская" система счисления оказывается неудобной. В этой ситуации преимущественнее оказываются позиционные системы счисления. Хотя в них, как правило, представления чисел далеко не так просты и очевидны, как в "римской" системе счисления, систематичность представления, основанная на "позиционном весе" цифр, обеспечивает простоту выполнения операций умножения и деления.

В "римской" системе счисления каждый числовой знак в записи любого числа имеет одно и то же значение, то есть значение числового знака не зависит от его расположения в записи числа. Таким образом, "римская" система счисления не является позиционной системой счисления.

Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятичная система счисления. В этой системе для записи любых чисел используется только десять разных знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Эти цифры введены для обозначения первых десяти последовательных чисел, а следующее число 10 и т.д. обозначается уже без использования новых цифр. Однако введением этого обозначения сделан важный шаг в построении системы счисления: значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Таким образом, система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.

Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр:

основана на представлении этого числа в виде полинома:

где каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки. Запись числа X в виде (2.1) представляет собой просто перечисление коэффициентов полинома (2.2). Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последовательности цифр и является началом отсчета.

Число K единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления, а сама система счисления называется K-ичной. Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной – число 2; троичной – число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в K-ичной системе счисления достаточно иметь K разных цифр a_i, i=1, 2, …, K. Например, в троичной системе счисления любое число может быть выражено посредством цифр 0, 1, 2. Эти цифры служат для обозначения некоторых различных целых чисел, называемых базисными.

Числа можно записать как суммы степеней не только числа 10, но и любого другого натурального числа, большего 1. Например, в Древнем Вавилоне использовалась система счисления с основанием 60. Деление часа на 60 минут, а минуты на 60 секунд заимствовано именно из этой системы. А то, что человечество выбрало в качестве основания системы счисления число 10, вероятно, связано с тем, что природа наделила людей десятью пальцами.

Запись произвольного числа X в K-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

где каждый коэффициент a_i может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Как и в десятичной системе счисления, число X, представленное в K-ичной системе счисления, можно кратко записать в виде (2.1) путем перечисления всех коэффициентов полинома (2.3) с указанием позиционной точки. Последовательность цифр, стоящая в (2.1), является изображением числа X в K-ичной системе счисления. Базисные числа должны быть выбраны так, чтобы любое число X могло быть представлено в виде полинома (2.3). Обычно в качестве базисных чисел берутся целые числа от 0 до K-1 включительно.

Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными. Особенно отчетливо аддитивно-мультипликативный способ образования чисел из базисных выражен в числительных русского языка, например пятьсот шестьдесят восемь (то есть пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь).

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полиномами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании K системы счисления.

Отметим, что во всех позиционных системах счисления с любым основанием K умножения на числа вида K^m, где m – целое число, сводится просто к перенесению запятой у множимого на m разрядов вправо или влево (в зависимости от знака m), так же как и в десятичной системе.

Для указания того, в какой системе счисления записано число, условимся при его изображении основание системы счисления указывать в виде нижнего индекса, например, 35.64₈.