ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД
Пусть функция 
имеет в т. 
и некоторой ее окрестности производные любого порядка. Ряд
(5.1)
называется рядом Тейлора для функции f(x). Если же для всех значений x из некоторой окрестности т. ряд сходится и имеет суммой f(x), т.е.
,
то f(x) называется разложимой в ряд Тейлора в окрестности т. ( или по степеням 
). Если x = 0, то ряд Тейлора имеет вид
и называется рядом Маклорена.
Теорема 8. Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора в окрестности т. , необходимо и достаточно, чтобы 
.
- остаточный член формулы Тейлора. Записанный в форме Лагранжа, он имеет вид: 
, 
При разложении 
в ряд Тейлора применяют следующие приемы:
1) Непосредственное разложение в ряд Тэйлора, которое состоит из трех этапов: a)формально составляют ряд Тэйлора, для чего находят 
для любых n, вычисляют 
и подставляют найденные значения в (5.1); b) находят область сходимости ряда (5.1); c) выясняют, для каких значений x из области сходимости ряда , т.е. для каких x имеет место равенство: 
.
2) Использование готовых разложений:
.
Пример. Разложить 
в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2.
Ñ Решим эту задачу двумя способами.
I способ. Используем непосредственное разложение функции в ряд Тейлора:1) 
;
……………………………………………………
……………………………………………………
Вычислим найденные производные в т. x = 2:
…,
,…
Составим формально ряд Тейлора:
(5.2)
б) Найдем область сходимости ряда (5.2), используя признак Даламбера:
Этот результат будет справедлив при любых x, следовательно, ряд (5.2) сходится на всей числовой оси: 
.
в) Докажем, что при всех x ряд (5.2) сходится к 
, для чего достаточно показать, что 
при 
:
при
. Как результат решения задачи можем записать:
, .
II способ. Разложим в ряд Тейлора в окрестности т. x = 2, используя готовое разложение. Преобразуем следующим образом:
.
В ряд Маклорена для cosx
(5.3)
справа и слева вместо x подставим 
, получим:
; (5.4)
(т.к. в (5/3) 
#