Проверка функции на непрерывность
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Замечательные пределы.
Предел функции.
ТЕМА 4. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение.Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :
.
Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .
Числа называются членами последовательности, а число - общим, или -м членом данной последовательности.
Определение.Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного , найдется такой номер (зависящий от , ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство
Предел числовой последовательности обозначается или при .
Определение.Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для всех таких, что , верно неравенство:
.
Этот предел функции обозначается или при .
Определение.Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от , ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию
верно неравенство:
.
Этот предел функции обозначается или при .
Пример 6.1. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
Пример 6.2.Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия можно либо разделить числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность, либо вынести переменную в наибольшей степени в числители и знаменатели дроби и сократить на наибольшую степень.
или
Пример 6.3.Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 6.2.
Пример 6.4.Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Раскрываем ее аналогично тому как это сделано в примере 2.
Пример 6.5. Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю, разложим выражение стоящее в знаменателе на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
2. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Первым замечательным пределом называется:
Число (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности:
.
Пример 6.6Найти предел функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным пределом .
Пример 6.7.Найти предел функции
Решение: В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.
Имеем , тогда
3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
Определение.
Таблица эквивалентных бесконечно малых величин.
Пример 6.8.Найти предел, используя эквивалентные бесконечно малые функции
Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся теоремой о замене бесконечно малых функций эквивалентными им бесконечно малыми. Так как и , то
4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) определена в точке (т.е. существует ;
2) имеет конечный предел функции при ;
3) этот предел равен значению функции в точке .
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва: первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу) и второго рода(когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).
К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равнее значению функции в этой точке.
Пример 6.9.Исследовать данную функцию на непрерывность и построить ее график
Решение: Функция является неэлементарной, так как на разных интервалах представлена различными аналитическими выражениями. Эта функция определена на интервалах , где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках и .
Для точки имеем:
Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.
Для точки находим:
Так как , то функция в точке имеет разрыв первого рода.
График данной функции изображен на рис. 1.
Рис. 3.
Пример 6.10. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках
Решение:
Для точки имеем:
т.е. в точке функция имеет разрыв второго рода (терпит бесконечный разрыв).
Для точки имеем:
Следовательно, в точке функция непрерывна.