Перевод чисел из формата с фиксированной запятой в формат с плавающей запятой и обратно

В начале рассмотрим алгоритм перевода числа из формата с фикси-рованной запятой в формат с плавающей запятой.

Перевод числа из формата с фиксированной запятой [A]фв формат с плавающей запятой [A]п.з возможен только в случае выполнения следующего условия:

nm nф,

где nm это длина мантиссы для числа в формате с плавающей запятой, а nф - длина мантиссы для числа в формате с фиксированной запятой.

Условно примем, что длина разрядной сетки, выделенной для изображения мантиссы числа как с плавающей так и с фиксированной запятой, одинаковая и, например, равна 8, т.е. nф = nm = 8. Для представления характеристики числа с плавающей запятой, к примеру, отводится 6 разрядов. Тогда l = 3210. В начале процедуры перевода модуль числа [A]ф, представленного в прямом коде без знакового разряда, переписывается в поле мантиссы [A]п.з. Причем, таким образом, чтобы, независимо от длины мантиссы, изображение модуля числа [A]ф разместилось в самых младших разрядах поля мантиссы. В этом случае исходная характеристика принимается следующей:

r = l + na = 3210 + 810 = 4010.

Это объясняется тем, что при переводе числа из формата с фиксированной запятой в формат с плавающей запятой (только при таком переводе !) показатель степени порядка p может быть только nф.

В процессе перевода проверяется старший разряд мантиссы, если он обнулен, то производится сдвиг изображения мантиссы влево на один разряд и вычитается 1 из значения r. Такая процедура повторяется до тех пор пока в старшем разряде мантиссы не появится 1, или же пока значение r не станет равным l. В этих случаях процедура перевода заканчивается.

Например, в случае перевода [1]ф в [1]п.з получается r = 3310, изображение мантиссы будет 0,12. Если исходное число было отрицательным, то в разряд, отведенный под знак мантиссы записывается 1. В противном случае 0.

Например, переведем 510 = 000001012 в формат с плавающей, nm = 8,

nф = 8, l = 8 = 10002, r = l + nm = 10002 + 10002

Последовательность выполнения процедуры нормализации приведена в таблице 3.3:

Т а б л и ц а 3.3

С.р. Мантисса М.р.\ r2 = l2 + (nm - 1)2

0 0 0 0 0 1 0 1 r = 1000 + 1000

0 0 0 0 1 0 1 0 r = 1000 + 0111

0 0 0 1 0 1 0 0 r = 1000 + 0110

0 0 1 0 1 0 0 0 r = 1000 + 0101

0 1 0 1 0 0 0 0 r = 1000 + 0100

1 0 1 0 0 0 0 0 r = 1000 + 0011

В результате получили число, мантисса которого равна 0,1012 с характерис-тикой r = 10112 = 1110 , т.е. показатель степени порядка равен 00112 = 310.

В случае, когда исходное число является правильной дробью, то дробь записывают в старшие разряды мантиссы и в качестве исходной характеристики принимается r = l. Далее перевод производится аналогично выше описанному.

Например, переведем 0,2510 = 0,012 при условиях таких же, как и в первом примере:

Т а б л и ц а 3.4.

С.р. Мантисса М.р. r2 = l2 - 1

0 1 0 0 0 0 0 0 r = 1000

1 0 0 0 0 0 0 0 r = 1000 - 1 = 0111

Получаем число 0,12, r = 01112 = 710, а показатель степени порядка равен

-1.

А теперь приведем принцип перевода числа из формата с плавающей запятой в формат с фиксированной запятой.

Рассмотрим тот же случай, когда nф = nm, а [A]ф - целое число.

Если r < l + nф, то изображение мантиссы сдвигается вправо на один разряд с прибавлением единицы к значению r при каждом шаге сдвига. Сдвиги прекращаются как только станет справедливым равенство

r = l + nф.

Следовательно, если исходно r = l + nф., то сдвиги не нужны. Если же

r = l + nф, то преобразование невозможно, т.к. будет принципиально ошибочным.

Полученное после необходимых сдвигов (или без них) изображение мантиссы переписывается в разрядную сетку, отведенную под модуль числа [A]ф. Если знак мантиссы был отрицателен: Sm = 1, то представление [A]ф переводится в дополнительный код.

Например, денормализуем число 0.1012 с характеристикой r = 10112 :

Т а б л и ц а 3.5.

С.р. Мантисса М.р. r2 = l2 + (p + 1)2

1 0 1 0 0 0 0 0 r = 1000 + 0011

0 1 0 1 0 0 0 0 r = 1000 + 0100

0 0 1 0 1 0 0 0 r = 1000 + 0101

0 0 0 1 0 1 0 0 r = 1000 + 0110

0 1 0 0 1 0 1 0 r = 1000 + 0111

0 0 0 0 0 1 0 1 r = 1000 + 1000

Получаем 510.

В общем случае, когда nm > nф, обязательно должно выполняться следующее условие:

r - l nф.

Если это условие не выполняется, то в результате денормализации получим число по величине меньшее исходного, т.е. результат перевода будет ошибочным.

В случае, когда [A]ф правильная дробь и r < l, мы также начинаем сдвигать число вправо, прибавляя к значению к единицу при каждом шаге сдвига до тех пор, пока r станет равным l. Затем, начиная со старшего разряда мантиссы, выделяем столько разрядов, сколько отведено их для представления числа в формате с фиксированной запятой, и считываем их в разрядную сетку, отведенную для представления числа в формате с фиксированной запятой.

Например, денормализуем число 0,12 с характеристикой 01112:

Т а б л и ц а 3.6.

С.р. Мантисса М.р. r2 = l2 + 1

1 0 0 0 0 0 0 0 r = 0111

0 1 0 0 0 0 0 0 r = 0111 + 1 = 1000

Получаем 0.012 и переписываем это число в разрядную сетку, отведенную для представления чисел в формате с фиксированной запятой.

Когда nm > nф, если не выполняется следующее условие:

l - r nф,

то в результате денормализации получим 0.