Метод Ньютона для систем уравнений.
Метод 19
Простой Итерации
Метод 18
Решение систем не линейных уравнений.
Тема №5
Метод Гаусса-Зейделя.
Метод 17
Является одним из самых распространённых итерационных методов. Это связано с простотой метода. Перепишем уравнение системы, выразив из первого уравнения, - из второго и т.д.
Получится система, которая имеет вид:
……………………………………….
Перед записью этой системы необходимо произвести проверку уравнений таким образом, чтобы диагональные элементы не были равны нулю, а ещё лучше, что бы на диагонали были максимальные элементы.
Сначала задаётся начальное приближение и на 1-ом итерационном шаге с помощью 1-го уравнения находится
и т.д. до .
Считаем пока не достигнем, заданной точности. Для сходимости итерационного процессадостаточно чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше суммы модулей всех не диагональных элементов.
, для любого i
И, по крайней мере, хотя бы в одном уравнении модуль должен быть большим.
Пусть требуется найти решение системы из n уравнений с t неизвестными.
…………………..
В общем случае прямых методов решения систем не линейных уравнений нет. Единственным методом решения является итерационный.
Самый простой метод решения – это метод простой итерации. Преобразуем исходную систему к такому виду:
…………………..
Это преобразование можно произвести всегда, причем различным образом.Затем следует задать начальное приближение:
И тогда из 1-го уравнения мы получим:
…………………..
При использовании метода простой итерации успех во многом зависит от удачного выбора начального приближения (чем дальше начальное приближение от истинного значения, тем больше вероятность расхождения итерационного процесса).
Для системы существует область сходимости, если начальное приближение попадает в эту область, то итерационный процесс будет сходиться, не попадает – расходиться.
Чем больше число неизвестных, тем меньше область сходимости, тем труднее получить решение на промежутке т.к. обеспечить сходимость метода простой итерации не всегда удаётся.
Обладает гораздо более быстрой сходимостью и большей областью сходимости.
В основе метода Ньютона лежит представление всех уравнений системы в виде ряда Тейлора с отброшенными членами содержащие 2-ые и более высоких порядков производные.
…………………..
Представим решение на k+1 итерационном шаге в виде
Нашей целью является нахождение небольших поправок к решению.
Для этого подставим эти решения в уравнения системы и разложим в ряд Тейлора
В результате получиться система уравнений вида:
……………………………………..
В этой системе все правые части вычисляются при уже найденных , ,…, .
В результате мы получили систему линейных уравнений (СЛУ) относительно неизвестных величин. После того как решение системы найдено (решаем методом Гаусса), получаем решение на