Момент силы относительно точки

Момент силы

ТВЕРДОГО ТЕЛА

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы

Основной закон релятивисткой механики

 

 

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту точку, т. е.

 

 

или .

 

 

Ускорение, сообщаемое материальной точке силой:

 

 

.

 

 

Следовательно, ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой, вызывающей это ускорение.

Вектор коллинеарен силе только в двух случаях:

· сила направлена перпендикулярно к скорости точки (поперечная сила), так что , и

 

;

 

 

· сила направлена параллельно к скорости точки (продольная сила), так что , и

 

 

.

 

 

 

Приращение кинетической энергии материальной точки равно работе равнодействующей силы :

 

 

.

 

Возведём обе части равенства в квадрат и избавимся от знаменателя. Получим . Теперь умножим обе части на

. Продифференцировав это равенство и проведя сокращения, получим и . Тогда . Отсюда следует, что

 

 

 

или

 

 

 

 

Величину называют полной энергией тела, а величину – энергией покоя тела.

 

.

 

 

Значения и не зависят от выбора инерциальной системы отсчёта. Для элементарной частицы они являются неизменными характеристиками. Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и от её внутреннего состояния.

Выразим полную энергию частицы через её импульс. . Возведем обе части этого равенства в квадрат и освободимся от знаменателя. Получим: . Учитывая, что , получим . Произведение массы частицы на скорость ее движения есть импульс этой частицы, тогда после сокращения на уравнение примет вид или, с учетом того, что ,

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.48.
Вектором момента силы относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиус-вектора на вектор силы , где радиус-вектор проведён из точки О к точке приложения силы (рис. 1.48):

 

 

.

 

 

Направление вектора определим по правилу буравчика (правого винта). Векторы , и образуют правовинтовую систему: рукояткой буравчика служит вектор , конец рукоятки надо вращать в направлении вектора , тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора (см. рис. 1.49). Условимся

Рис. 1.49.
вектор, направленный за плоскость чертежа обозначать символом Ä, а направленный к нам символом ¤. Так, на рис.1.48 вектор направлен от нас и обозначен Ä.

Модуль момента силы

 

,

 

 

где α – угол между векторами и . Произведение есть плечо силы – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы (см. рис. 1.50). Тогда модуль момента силы

 

.

 

 

За единицу момента силы принимают момент, созданный силой в 1 Н с плечом равным 1 м: .

Рис. 1.50.
Разложим вектор силы на две составляющих: радиальную и тангенциальную . Как видно из рис. 1.50, , тогда модуль момента силы


.

 

 

Момент силы, взятый относительно точки, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой точки. Если сила направлена вдоль радиус-вектора, ее плечо равно нулю. Такая сила не может вызывать поворот тела вокруг точки О. Этот поворот вызывается только тангенциальной (касательной) компонентой силы , направленной перпендикулярно радиус-вектору.

Рис. 1.51.
Результирующий момент сил взаимодействия тел всегда равен нулю. Действительно, для двух взаимодействующих материальных точек согласно третьему закону Ньютона , т. е. силы равны по величине, противоположно направлены и расположены на прямой, соединяющей взаимодействующие точки. Моменты этих сил относительно произвольной точки О будут равны по модулю, так как эти силы обладают одним и тем же плечом (см. рис. 1.51), и противоположно направлены: , .