Закон сохранения механической энергии

Потенциальная энергия взаимодействия

Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

Связь силы и потенциальной энергии

 

Пусть некоторое тело перемещается в потенциальном поле. При этом консервативные силы поля совершают над телом работу dА, равную убыли потенциальной энергии (dА = –dWп). Элементарная работа на пути ds: , где α – угол между векторами силы и перемещения. Как следует из рис.1.33, dscosα = dn – кратчайшему расстоянию между начальной и конечной поверхностями уровня поля. Итак, . Тогда , или в векторной форме

.

Поясним это на простых примерах. Вблизи поверхности Земли считаем поле силы тяжести однородным. Поверхности уровня потенциальной энергии представляют собой параллельные горизонтальные плоскости. Потенциальная энргия Wп = mgh растет с высотой, следовательно, нормаль n к поверхностям уровня следует направить вертикально вверх (рис. 1.34, a), и dn = dh. В ту же сторону направлен и вектор градиента потенциальной энергии grad Wп. Сила тяжести направлена в противоположную сторону, т.е. вниз. По модулю оба вектора равны изменению потенциальной энергии на единицу длины в направлении нормали :

 

Вдали от поверхности Земли рассматриваем гравитационное поле как центральное. Поверхности уровня потенциальной энергии представляют собой сферы, центры которых совпадают с центром Земли (рис. 1.34, б). Потенциальная энергия тела массой m равна и возрастает по мере

 


удаления от Земли (r – расстояние до ее центра). Нормаль к сферическим поверхностям направлена вдоль радиальных линий наружу (dn = dr) и указывает направление вектора grad Wп. Сила тяготения направлена к центру Земли, .

Рис. 1.34.

 

Пусть имеется некоторая система взаимодействующих тел (см. рис. 1.35), где – равнодействующая внутренних сил, действующих на i-е тело.

Рис. 1.35.
Потенциальная энергия взаимодействия тел системы – это физическая величина, равная работе, совершаемой силами взаимодействия при изменении расположения тел из данного состояния в состояние, в котором потенциальная энергия взаимодействия условно принимается равной нулю. Например, в состояние, когда тела будут бесконечно удалены друг от друга.

 

 

 

Рис. 1.36.
Рассмотрим систему, состоящую из n взаимодействующих частиц (рис. 1.36). Силы взаимодействия будем считать консервативными. Эта система находится во внешнем потенциальном силовом поле. Пусть на частицы действуют также диссипативные силы.

Применим к каждой частице второй закон Ньютона. Для i-й частицы:

 

 

,

 

 

где – сила, действующая со стороны внешнего потенциального поля, – равнодействующая внутренних консервативных сил, – диссипативная сила.

Умножим скалярно левую и правую части этого равенства на перемещение i-й частицы . Учитывая, что , получим:

 

 

.

 

 

Правая часть равенства представляет собой дифференциал кинетической энергии, т. е.

 

.

 

Просуммируем такие равенства по всем частицам системы:

 

 

.

 

 

Первое слагаемое есть работа сил внешнего потенциального поля по перемещению частиц системы. Она равна уменьшению потенциальной энергии этих частиц во внешнем поле: . Второе слагаемое дает работу внутренних сил взаимодействия частиц, равную уменьшению потенциальной энергии взаимодействия . Третье слагаемое – работа неконсервативных сил.

Стоящая в правой части равенства сумма дифференциалов есть дифференциал суммы, который равен изменению кинетической энергии частиц системы, т. е. . Таким образом, приходим к тому, что

 

,

,

 

или

 

.

 

 

Выражение в скобках является полной механической энергией частиц системы W. Если нет неконсервативных сил , то и , cледовательно,

 

 

 

 

 

Сформулируем закон сохранения механической энергии системы тел.

Полная механическая энергия системы тел, на тела которой действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Если на тела системы действуют неконсервативные силы, безразлично, внутренние или внешние, то работа этих сил равна изменению механической энергии системы.