Лекция 19. Расчёт электростатических полей
Цель лекции: изучить граничные условия и методы расчёта электростатических полей.
19.1 Граничные условия в электростатическом поле
Условия, которым удовлетворяют вектора поля на границе раздела двух различных сред, называются граничными условиями. Рассмотрим границу двух непроводящих сред, диэлектрические проницаемости которых равны и . Первое граничное условие
или . (19.1)
На границе двух непроводящих сред тангенциальные составляющие вектора напряженности электрического поля равны. На поверхности раздела двух сред потенциал непрерывен .
Второе граничное условие
(19.2)
. (19.3)
Нормальная составляющая вектора электрического смещения на границе двух непроводящих сред претерпевает скачок, равный поверхностной плотности свободных зарядов, распределенных на границе.
Если, то , . (19.4)
Нормальная составляющая вектора электрического смещения на границе непрерывна.
Если одна из сред проводящая, то граничные условия изменятся. В проводящей среде векторы поля равны нулю, а потенциал всех точек проводника один и тот же. Пусть первая среда — диэлектрик с относительной
проницаемостью , вторая — проводник; тогда граничные условия запишутся следующим образом
,
(19.5)
.
19.2 Методы расчёта электростатических полей
Расчет электростатических полей чаще всего сводится к определению напряженности поля Е при заданном распределении зарядов, возбуждающих поле. Если непосредственное определение Е приводит к математическим трудностям, удобнее вначале определить потенциал по заданному распределению зарядов, а затем, зная потенциал, определить напряженность поля. Обратная задача заключается в определении закона распределения зарядов по заданной напряженности поля.
Наиболее общим методом расчета полей является метод интегрирования уравнений поля. Однако в ряде случаев можно использовать частные методы, которые позволяют проще и быстрее решить поставленную задачу. К ним относятся: метод наложения; метод, основанный на применении теоремы Гаусса; метод конформных преобразований; метод зеркальных изображений; графические и ряд других методов. Рассмотрим некоторые из перечисленных методов.
19.3 Метод наложения
Если распределение заряда в пространстве задано, то, разделив этот заряд на бесконечно малые элементы dQ и считая их точечными, можно определить потенциал и напряженность поля по формулам
, (19.6)
. (19.7)
Складывая алгебраически величины , можно определить потенциал в любой точке поля
. (19.8)
Напряженность определится по формуле
. (19.9)
19.4 Метод зеркальных изображений
Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то векторы поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображении.
Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов. Определив векторы поля от совместного действия заданных и фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля.
19.5 Распределение потенциалов и зарядов в системе проводящих тел
При исследовании процессов в линиях электропередач может встретиться следующая задача. Дано несколько параллельных проводов. Взаимное их расположение и электрические заряды на них известны. Требуется определить потенциалы этих проводов. Обозначим потенциал произвольной точки р, обусловленный зарядом одного из проводов через. Так как потенциал и заряд пропорциональны, то
. (19.10)
Коэффициент —величина постоянная. Если число всех проводов обозначить п, то потенциал в точке р, обусловленный зарядами всех проводов, можно определить, пользуясь принципом наложения
.(.19.11)
Если точку р выбрать на поверхности первого провода, то его потенциал
(19.12)
Аналогично можно записать потенциалы остальных проводов
(19.13)
)
Предположим, что все заряды, кроме , равны нулю, a . Тогда . Следовательно, коэффициент численно равен потенциалу провода k, когда заряд провода равен единице, а заряды остальных проводов равны нулю. ПостоянныеВ называются потенциальными коэффициентами. Они всегда положительные. При перестановке индексов коэффициент не изменяется: . Если полученную систему уравнений решить относительно зарядов, то
. (19.14)
Постоянные А называются емкостными коэффициентами. Связь между потенциальными и емкостными коэффициентами следующая
, (19.15)
где определитель системы
, (19.16)
а алгебраическое дополнение:
. (19.17)
Коэффициенты А с одинаковыми индексами положительны, с различными индексами — отрицательны. При перестановке индексов коэффициент не меняется . Пусть потенциал одного из проводов, например , равен единице, а потенциал остальных проводов равен нулю. Тогда .
Следовательно, коэффициент численно равен заряду ,когда потенциал, а потенциал остальных проводов равен нулю.
Систему уравнений можно записать иначе
где . (19.18)
Коэффициенты С называются частичными емкостями. Если индексы у частичной емкости одинаковые, ее называют собственной частичной емкостью, если индексы разные — взаимной частичной емкостью. Частичные емкости всегда положительные. При изменении порядка индексов коэффициент не меняется .
Коэффициенты А могут быть определены экспериментально. Зная их, можно подсчитать частичные емкости.