Системы счисления

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В ЦИФРОВЫХ АВТОМАТАХ

В разделе рассматриваются способы кодирования и формы хранения числовой, символьной, графической, звуковой и видеоинформации, используемые в современных ЭВМ при накоплении, передаче, вводе и выводе данных.

При обозначении количественных характеристик объектов и явлений используются последовательности символов. Например, для указания года используется последовательность символов "1999". Символы '1' и '9' выбираются из набора символов, в который входят также символы '0', '2', '3', '4', '5', '6', '7' и '8' (в дальнейшем апострофы при указании символа будут опускаться).

Набор символов, правил счета и записи чисел в виде последовательности символов из этого набора образуют систему счисления. Набор символов системы счисления называется алфавитом, а сами символы – цифрами.

Необходимо различать значение числа и его запись. Одно и то же число можно записать, используя различные системы счисления. Например, 35 и XXXV — это две различные записи одного и того же числа.

Рассмотрим в качестве примера запись чисел в двух системах счисления. Первой системой (S₁) является арабская система счисления с алфавитом:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8, 9}.

Во второй системе (S₂) число представляется в виде последовательности единиц, и для определения значения числа необходимо сосчитать количество единиц в его записи. Алфавит второй системы счисления состоит из одной цифры: А = { 1 }.

Число одиннадцать в этих системах счисления записывается соответственно 11 и 11111111111. При записи чисел используется цифра 1. В первой системе счисления вес единицы определяется ее местоположением в записи числа (вес левой единицы равен 10, вес правой единицы равен 1), тогда как вес 1 во второй системе счисления всегда равен единице и не зависит от того, где она располагается.

Из-за указанного различия эти системы счисления относят к разным
классам систем счисления – позиционным и непозиционным системам
счисления. В позиционных системах счисления вес цифры в записи числа зависит от ее вида и от занимаемой ею позиции. Позиции цифр в таких системах счисления называются разрядами. В непозиционных системах счисления количественное значение цифры зависит только от ее вида, а в некоторых непозиционных системах счисления (например, римской) – от взаимного расположения цифр.

Непозиционные системы счисления появились раньше позиционных систем счисления. Первобытные люди использовали для обозначения чисел последовательности зарубок на бревне. Древние греки также пользовались непозиционными (аттической и ионической) системами счисления. Правила счета небольших чисел в некоторых таких системах очень просты. Например, для добавления единицы к числу в непозиционной системе счисления S₂ необходимо приписать слева или справа единицу: 111 + 1 = 1111.

При записи больших чисел более приемлемым является использование позиционных систем счисления (число 1000000000 при использовании непозиционной системы счисления S₂ может не поместиться на одном листе бумаги).

Число q, равное количеству различных цифр в алфавите позиционной системы счисления, называется основанием системы счисления. В алфавите арабской системы счисления S₁ q равно десяти, так как алфавит включает в себя десять различных чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В соответствии со значением основания арабскую систему счисления называют десятичной системой счисления.

Существует несколько форматов записи чисел в позиционных системах счисления.

При использовании формата с фиксированной точкой запись числа представляет собой последовательность:

S a_n a_{n – 1} ... а₁ a_{0 .}a_–1 a_–2 ... a_–m,

где S – знак числа (плюс или минус), a_n, a_{n – 1}, ..., a₁, а₀, a_–1, a_{– 2}, ..., a_–m – цифры из алфавита А: п, п – 1,..., 1, 0, –1, –2, ..., –т – номера разрядов.

Разряд с номером n является старшим разрядом числа, а разряд с номером –m – младшим. Разряды с номерами, которые больше или равны 0, образуют целую часть числа. Разряды с номерами, меньшими 0, образуют дробную часть числа. В записи числа эти разряды отделяются разделительной (дробной) точкой (или запятой). Если дробная часть отсутствует, то число называют целым и опускают разделительную точку в записи числа. Если отсутствует целая часть, то число называют правильной дробью и перед разделительной точкой записывают 0 (25 – целое число, а 0.14 – правильная дробь).

Для определения абсолютного значения числа необходимо воспользоваться выражением:

N_q = a*_nqⁿ + a*_{n – 1} q^{n – 1} + … + a*₁q¹ + a*₀q⁰+ а*_–1q^-1 + a*_–2q^–2 + ... + a*_–mq^–m,

где a*_n, a*_n–1, ..., a*₁, а*₀, a*_–1, a*_–2, ..., a*_–m – значения чисел, равные собственным весам соответствующих цифр a_n, a_n–1, ..., a₁, а₀, a_–1, a_–2, ..., a_–m.

При использовании формата с плавающей точкой запись числа представляет собой последовательность:

S a_n a_{n – 1} ... а₁ a_{0 .}a_–1 a_–2 ... a_–m ´ q^k,

где S – знак числа (плюс или минус), a_n, a_{n – 1}, ..., a₁, а₀, a_–1, a_{– 2}, ..., a_–m – цифры из алфавита А: п, п – 1,..., 1, 0, –1, –2, ..., –т – номера разрядов, q – основание системы счисления, k – порядок числа.

Для определения абсолютного значения числа необходимо воспользоваться выражением:

N_q =(*_nqⁿ + a*_{n – 1} q^{n – 1} + …+ a*₁q¹ + a*₀q⁰+ а*_–1q^-1 + a*_–2q^–2 +.. + a*_–mq^–m)´ q^k,

где a*_n, a*_n–1, ..., a*₁, а*₀, a*_–1, a*_–2, ..., a*_–m – значения чисел, равные собственным весам соответствующих цифр a_n, a_n–1,..., a₁, а₀, a_–1, a_–2, ..., a_–m.

В современных ЭВМ для представления чисел используются позиционные системы счисления. Число в позиционной системе счисления состоит из п разрядов. Каждый разряд содержит одну из q цифр, где q – основание системы счисления (число различных цифр в алфавите). Поэтому для представления чисел в памяти ЭВМ требуются устройства, имеющие q устойчивых состояний (чтобы различать по состоянию устройства значения цифры в разряде).

Наиболее просто, с технической точки зрения, реализуются устройства, имеющие два устойчивых состояния (электромагнитное реле замкнуто или разомкнуто, магнитный материал намагничен или размагничен, электронная схема имеет на выходе высокое или низкое напряжение и т.д.). В связи с этим для представления чисел в ЭВМ применяется двоичная система счисления.

Двоичная система счисления имеет алфавит, состоящий только из двух цифр: 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число два.

Кроме двоичной системы счисления при вводе и выводе чисел используются также десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Запись чисел в этих системах короче и удобнее записи чисел в двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления имеет алфавит из восьми цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7. Основанием восьмеричной системы является число восемь.

Шестнадцатеричная система счисления состоит из шестнадцати различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а, b, с, d, e, f. Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число шестнадцать.

Вид первых шестнадцатеричных чисел от 0 до 15 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления приведен в табл. 4.1.

Таблица 4.1