Ранг и базис системы векторов

Опр. Рангом r системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.

Опр. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

В частности, любая совокупность п линейно независимых векторов п-мерного пространства является базисом.

Теорема. Любой вектор системы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов базиса этой системы.

Док-во. Пусть система имеет базис .

1) Пусть вектор из базиса (например, это ). Тогда .

2) Пусть вектор не из базиса. Например, это вектор , где р>к.

Рассмотрим систему .Она является линейно зависимой. Следовательно, найдутся числа , не все равные нулю, такие, что . Очевидно, что , т.к. в противном случае базис являлся бы линейно зависимым. Тогда

.

3) докажем, что разложение вектора по базису единственно.

Предположим противное: имеются два разложения вектора по базису:

и

.

Вычитая эти равенства, получим:

.

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим:

, …, .

Следовательно, разложение единственно.▲

Ранг п-мерного пространства равен его размерности. Значит, любой его базис состоит из п линейно независимых п-мерных векторов. Любая система в п-мерном пространстве, содержащая больше, чем п векторов, линейно зависима. Любой вектор пространства можно однозначно разложить по векторам любого базиса. Коэффициенты разложения называются координатами данного вектора в этом базисе.