Погрешности квадратурных формул

Погрешности квадратурных формул, рассмотренных в п.3, устанавливаются похожим образом. А именно, в каждом случае определяются локальные погрешности, которые затем суммируются.

Рассмотрим формулу левых прямоугольников (8). Согласно формуле Тейлора погрешность интерполяционной формулы на отрезке составляет ,где . Тогда погрешность интегрирования формулы вида (4) описывается выражением

,

которое, согласно обобщенной теоремы о среднем значении, можно представить в более удобной для последующего использования форме

,

где .

Тогда погрешность R формулы (8) равна

.

Далее, предположим функцию f(x) непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b]. Тогда по теореме Вейерштрасса найдется значение [a, b] и выражение для описания погрешности принимает окончательный вид

. (12)

Используя (12), можно выбрать шаг h и число n, обеспечивающих заданную точность интегрирования . Действительно, пусть , тогда

.

Потребовав

,

получим

.

Рассмотрим формулу трапеций (9).

Определим локальную погрешность интегрирования на отрезке [xi-1, xi]. Погрешность интерполяции равна

,

где [xi-1, xi]

Тогда, согласно теореме о среднем значении

где . Далее, проводя суммирование локальных погрешностей, получим глобальную, допускаемую на отрезке [a, b] при использовании формулы трапеции

,

где

Проведем без доказательства погрешности

для правила Симпсона,–

и для правила 3/8, -

.

Их обоснование см. в монографии : Крылов В.И., Бобков, Монастырный. Вычислительные методы. т2. –М.: Наука, 1977. -400с.

В заключении обратим внимание на следующий любопытный факт. Несмотря на более высокую степень интерполяционного многочлена, используемого в правиле 3/8, его итоговая погрешность интегрирования, при прочих равных условиях, выше, чем в правиле Симпсона.

6.5. Понятие о методах Монте–Карло

Методы Монте-Карло приближенного вычисления интегралов основаны на использовании равномерно распределенных последовательностей.

Рассмотрим на плоскости некоторую ограниченную область D площадью и предположим, что в ней задана некоторая бесконечная последовательность точек,….Пусть некоторая произвольная область площадью. Рассмотрим первые N точек последовательности {Pi} и обозначим через число точек из них, попадающих в d. Тогда

Последовательность {Pi} равномерно распределена в D тогда и только тогда, когда

для произвольной области d D.

Отсюда следует, что при достаточно больших значениях N отношение

,

откуда площадь области приближенно равна

(13)

Таким образом, если площадь области D известна, то, генерируя в ней равномерно распределенную последовательность, площадь произвольной области, расположенной в ней, можно определить простым подсчетом числа точек попадающих в последовательность {Pi}.

На этих особенностях и базируется методы приближенного интегрирования Монте-Карло.

Рассмотрим интеграл (1) и для упрощения предположим, что f(x)0. Тогда, значение (1) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной графиком y=f(x), x [a, b] . Возьмем в качестве области D прямоугольник [a, b; 0,M] , где M max f(x,) площадью = M(b-a). Далее формируя в D равномерно распределенную последовательность и осуществляя подсчет ,– числа точек попавших в фигуру, ограниченную графиком y=f(x), по формуле (13) определим приближенное значение площади и, тем самым, приближенное значение интеграла(1).

Известны различные способы генерирования равномерно распределенных последовательностей, в частности, случайно распределенные, – последовательности. Более подробно о них см. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями.–М.: Наука, 1981. -110стр.