Требования к отчету
Требования к программе
Задание
Сравнительный анализ методов
Сделаем некоторые замечания общего характера, касающиеся особенностей рассмотренных методов, вытекающие непосредственно из их алгоритмов.
В обоих методах присутствует требование невырожденности якобиевой матрицы. При равном числе итераций, безусловно, более трудоемким является метод Ньютона, требующий, на каждом шаге итерационного процесса, обращения матрицы. Однако этот недостаток может компенсироваться более высокой скоростью сходимости, определяемый конкретным видом уравнений. В обоих случаях трудоемкой операцией является обеспечение сходимостей генерируемых ими итерационных последовательностей. Возможно, разумным окажется переход с метода на метод по ходу выполнения итерационного процесса в случае нарушения условий сходимости одного из них.
Составить программу для ЭВМ, находящую решения системы 2-х уравнений с двумя неизвестными (согласно варианту задания) методами простой итерации и Ньютона с произвольно заданной точностью.
- Вывод учетной информации о программе (тема работы, Ф.И.О. автора).
- Наличие меню для выбора метода поиска решения с указанием вида соответствующих систем.
- Для выбора начального приближения графическим методом в программе должна быть предусмотрена возможность вывода на экран графика каждой из функций. При невозможности явно выразить одну из переменных из уравнений (2.1) для построения графиков следует воспользоваться методом построчного сканирования.
- Ввод исходных данных (после выбора метода решения системы): начальные значения x,y и величина допустимой погрешности.
- Программа должна быть в состоянии найти все корни данного уравнения указанным методом, если корней конечное число, или три корня, ближайших к началу координат, если уравнение имеет бесконечное число корней.
- Вывести результаты расчета на экран в виде таблицы:
| № итерации | xn | yn | |xn-xn-1| | |yn-yn-1| | F(x) | G(x) |
Замечание. Графики функций допустимо строить, используя пакеты прикладных программ (MathCAD, MatLab и т.п.)
Отчет должен содержать следующие обязательные пункты:
- титульный лист установленного образца;
- формулировку задания;
- краткие теоретические сведения о применяемых методах;
- графики функций;
- результаты расчетов: ручного и при помощи программы;
- текст программы;
- выводы.
Варианты к заданию
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
Лекция 6. Приближенное вычисление определенных интегралов
В которой формулируются основные идеи, реализованные при приближенном вычислении определенных интегралов, рассмотрены простейшие квадратурные формулы для равноотстоящих узлов, обсуждаются вопросы погрешности. Дано понятие о методах Монте-Карло.
6.1. Вступительные замечания
Ниже рассматриваются методы приближенного интегрирования собственных интегралов Римана
. (1)
Традиционный подход заключается в следующем.
На отрезке [a, b] выбирается ряд узловых точек 
и значение интеграла представляется в виде линейной комбинации значений подинтегральной функции в узловых точках
,
которая называется квадратурной формулой. При заданном числе n расположение узлов и значения коэффициентов 
подбирается так, чтобы обеспечивалась наивысшая точность результата. Наиболее просты и употребительны методы, в которых узловые точки выбираются равноотстоящими. На их рассмотрении далее мы и остановимся.
6.2. Формулы Ньютона-Котеса
Предположим, что отрезок [a, b]разделен на n равных частей величиной 
и обозначим точки деления через 
. Представим подинтегральную функцию (1) с помощью многочлена Лагранжа
где t = 
.
Тогда
(2)
или
,
где
(3)
Соотношения (2), (
) и называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса.
В случае, когда деление отрезка [a,b] не производится и на нем выбирается единственная узловая точка, обозначим ее через 
, интерполяционный многочлен принимает вид 
, а квадратурная формула, –
. (4)
Рассмотрим другие простейшие случаи, предварительно обосновав важное, для вычисления коэффициентов Hi, свойство:
При фиксированном n значенияHiиHn-i,где 
,равны.
Доказательство. Пусть n=2m. Не умаляя общности можно считать, что 
. Рассмотрим числитель подинтегральной функции из соотношения (2)
(t)=t(t-1)… (t-i)… (t-m)… (t-(2m-i))… (t-2m).
Удалим из
(t) множители (t-i) и (t-(2m-i)) и обозначим произведение оставшихся , – через 
.Т.е.
(t)=(t-i) (t-(2m-i)) 
(t).
Тогда
и
Сделаем в последних интегралах замену t-m=z или t=z+m. Тогда
и является нечетной функцией переменной z. Выражения для определения 
, 
после очевидных преобразований примут вид
,
.
Вторые слагаемые в фигурных скобках, в силу нечетности 
(z), равны 0, а числа 2m-i и i имеют одинаковую четность. Поэтому 
, что и требовалось.
Случай n=2m + 1 рассматривается аналогично.
Вернемся к вычислению коэффициентов .
Рассмотрим n=1. Тогда из (3) следует
.
Отсюда 
и квадратурная формула (2) принимает вид
(5)
Пусть теперь n=2 Из (3) имеем
,
.
Тогда
=
=
и
(6)
Рассмотрим n=3. Согласно (3)
,
следовательно, и 
,
,
следовательно, и 
.
Тогда квадратурная формула (2) принимает вид
(7)