Предварительные замечания

Лекция 4. Решение нелинейных уравнений

Варианты индивидуальных заданий

1. При помощи ручного просчета найти решение системы линейных уравнений Аx=b методом Жордана – Гаусса, заданную своей расширенной матрицей согласно варианта задания. Вычисления провести с выбором определяющего элемента.

2. Написать программу решения системы методом Зейделя Аx=b, заданной своей расширенной матрицей. Максимальное количество уравнений в системе равно восьми. Исходные данные программы - расширенная матрица системы и значение допустимой погрешности. Выходные данные - вектор-столбец Х решения системы , проверка решения А*x и количество итераций, выполненное для получении решения.

Варианты систем для задания 1

В которой излагаются простейшие методы решения нелинейных уравнений (половинного деления, касательных, хорд, итераций). На основе сжимающих отображений рассматриваются вопросы их сходимости и оценки погрешности.

Обычно процесс решения уравнения

, (4.1)

где - некоторая непрерывная функция, распадается на два этапа.

Первый из них заключается в установлении промежутка [a, b], на котором находится, по крайней мере, один корень уравнения (4.1). Этот этап называется отделением корнейи может осуществляться различными способами. Один из них базируется на фундаментальном свойстве непрерывных функций, описанном теоремой Больцано-Коши :

Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка , в которой .

Геометрически это означает, что при выполнении указанных условий график функции на отрезке [a, b], хотя бы один раз, пересечёт ось ox (Рисунок 4.1).

Рисунок 4.1. Иллюстрация к теореме Больцано-Коши

Отсюда следует, что для отделения корней уравнения (4.1) на первоначально заданном отрезке [А; В] необходимо с некоторым шагом h провести вычисление функции в точках и выделить тот или те отрезки , для которых . Если с выбранным значением h такой промежуток выбрать не удалось, то необходимо повторить вычисления, уменьшая до разумных пределов значение h.

Другой способ отделения корней, - графический. При современном уровне развития вычислительной техники он, по-видимому, является и более предпочтительным. Заключается в построении графика функции на промежутке [A; B] и в установлении, исходя из графика, отрезка [a, b], на котором он пересекает ось ох.

Замечание.На теореме Больцано-Коши основан один из методов решения нелинейных уравнений, - метод половинного деления.Он состоит в следующем. Пусть установлен отрезок [a, b], на котором . Далее, рассматривается середина этого отрезка точка , определяется и из отрезков [a; c], [c; b] выбирается тот, на котором функция меняет знак.

На выбранном отрезке, обозначим его через [a₁, b₁], величина которого равна , снова рассматривается середина отрезка , определяется и из отрезков [a₁; c₁], [c₁; b₁] выбирается тот, на котором изменяет знак. Он обозначается через [a₂, b₂] и процедура повторяется. На n- ом шаге величина отрезка [a_n, b_n] равна . Если она меньше , где - требуемая точность решения уравнения, то процесс последовательного деления завершается и в качестве приближенного решения выбирается .