Введення до систем числення

Система числення - сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел.

Позиційна - система числення, в якій значення кожної цифри залежить від місця в послідовності цифр у записі числа.

Непозиційна - система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється.

Щоб визначити число, недостатньо знати тип і алфавіт системи числення. Для цього необхідно ще додати правила, які дають змогу за значеннями цифр встановити значення числа.

Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел.

Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число. Добре відомим прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій роль цифр відіграють букви алфавіту: І - один, V - п'ять, Х - десять, С - сто, Z - п'ятдесят, D - п'ятсот, М - тисяча. Наприклад, 324 = СССХХІV. У непозиційній системі числення незручно й складно виконувати арифметичні операції.

Поширений приклад непозиційної системи числення – римська система числення, де замість цифр використовуються латинські букви (таблиця 10.1).

Таблиця 10.1 – Цифри римської системи числення

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять. Основою системи числення називається число, яке означає, у скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення, наприклад:

130678=1*10⁵+3*10⁴+0*10³+6*10²+7*10¹+8

Тут 10 є основою системи числення, а показник степеня - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зліва на право, починаючи з нуля). Арифметичні операції у цій системі виконують за правилами, запропонованими ще в середньовіччі. Наприклад, додаючи два багатозначних числа, застосовуємо правило додавання стовпчиком. При цьому все зводиться до додавання однозначних чисел.

9.2. Двійкова система числення

Є 10 типів людей - такі, що розуміють двійкову систему, та такі, що не розуміють.

Пояснення: 10₂ = 2₁₀

Проблема вибору системи числення для подання чисел у пам'яті комп'ютера має велике практичне значення. В разі її вибору звичайно враховуються такі вимоги, як надійність подання чисел при використанні фізичних елементів, економічність (використання таких систем числення, в яких кількість елементів для подання чисел із деякого діапазону була б мінімальною).

Найпоширенішою для подання чисел у пам'яті комп'ютера є двійкова система числення – використовує для запису чисел тільки два символи, зазвичай 0 (нуль) та 1 (одиницю).

Оскільки 2³=8, а 2⁴=16 , то кожних три двійкових розряди зображення числа утворюють один вісімковий, а кожних чотири двійкових розряди - один шістнадцятковий. Тому для скорочення запису адрес та вмісту оперативної пам'яті комп'ютера використовують шістнадцяткову й вісімкову системи числення.

0 ₂ = 0 ₁₀

1 ₂ = 1 ₁₀

10 ₂ = 2 ₁₀

11 ₂ = 3 ₁₀

100 ₂ = 4 ₁₀

101 ₂ = 5 ₁₀

9.3. Шістнадцяткова система числення

Шістнадцяткова систе́ма чи́слення — це позиційна система числення, кожне число в якій записується за допомогою 16-ти символів. Цю систему часто називають також Hex (початкові літери англ. hexadecimal — шіснадцятеричний).

Для запису чисел в цій системі окрім 10 арабських цифр (від 0 do 9) використовують 6 літер латинської абетки: A, B, C, D, E, F.

Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (зправа на ліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів шістнадцяти у цьому числі. Наприклад, число записане в десятковій системі як 1000, в hex записується як 3E8, де:

3x16² + 14x16¹ + 8x16⁰ = 768 + 224 + 8 = 1000.

В табл. 10.1 представлено відповідність різних систем числення.

Таблиця 10.1 – Таблиця відповідності різних систем числення

9.4. Системи числення з нетрадиційними основами

В людській історії існувала велика кількість різноманітних систем числення.

Слов’янська система числення – використовувала літери слов’янської абетки, за допомогою яких можна було представляти числа.

Трійкова система – -1, 0, 1; N, O, P.

Трійкова система – дуже зручний аналог двійкової при здійсненні арифметичних операцій, була реалізована в деяких комп’ютерах, наприклад, в радянському комп’тері «Сетунь», який був побудований в кінці 1950-х рр. На рис. 10.2 представлена таблиця додавання у трійковій системі.

Рисунок 10.2 – Таблиця додавання у трійковій системі

Чому саме десяткова система стала популярною? Підказка: у племенах майя використовувалася двадцяткова система.

9.5. Перетворення між різними системами числення

Якщо основа нової системи числення дорівнює деякому степеню старої системи числення, то алгоритм переводу дуже простий: потрібно згрупувати справа наліво розряди в кількості, що дорівнює показнику степеня і замінити цю групу розрядів відповідним символом нової системи числення. Цим алгоритмом зручно користуватися коли потрібно перевести число з двійкової системи числення у вісімкову або шістнадцяткову. Наприклад, 10110₂=10110=26₈, 1011100₂=1011100=5C₈

Перетворення навпаки відбувається за зворотнім правилом: один символ старої системи числення заміняється групою розрядів нової системи числення, в кількості рівній показнику степеня нової системи числення. Наприклад, 472₈=100111010=100111010₂, B516=10110101=10110101₂

Як бачимо, якщо основа однієї системи числення дорівнює деякому степеню іншої, то перевід тривіальний. У протилежному випадкові користуються правилами переведення числа з однієї позиційної системи числення в іншу (найчастіше для переведення із двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення у десяткову, і навпаки).

Розглянемо загальні правила переведення.

1. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q, використовуючи арифметику нової системи числення з основою q, потрібно записати коефіцієнти розкладу, основи степенів і показники степенів у системі з основою q і виконати всі дії в цій самій системі. Очевидно, що це правило зручне при переведенні до десяткової системи числення.

Наприклад:

з шістнадцяткової в десяткову:

92C8₁₆=9*10₁₆³+2*10₁₆²+C*10₁₆¹+8*10₁₆⁰= 9*16₁₀³+2*16₁₀²+12*16₁₀¹+8*16₁₀⁰=37576

з вісімкової в десяткову:

735₈=7*10₈²+3*10₈¹+5*10₈⁰= 7*8₁₀²+3*8₁₀¹+5*8₁₀⁰=477₁₀

з двійкової в десяткову:

110100101₂=1*10₂⁸ + 1*10₂⁷ + 0*10₂⁶ + 1*10₂⁵ + 0*10₂⁴ + 0*10₂³ + 1*10₂² + 0*10₂¹ + 1*10₂⁰= 1*2₁₀⁸ + 1*2₁₀⁷ + 0*2₁₀⁶ + 1*2₁₀⁵ + 0*2₁₀⁴+0*2₁₀³+1*2₁₀²+0*2₁₀¹+ 1*2₁₀⁰=421₁₀

2. Для переведення чисел із системи числення з основою p в систему числення з основою q з використанням арифметики старої системи числення з основою p потрібно:

для переведення цілої частини:

послідовно число, записане в системі основою p ділити на основу нової системи числення, виділяючи остачі. Останні записані у зворотному порядку, будуть утворювати число в новій системі числення;

для переведення дробової частини:

послідовно дробову частину множити на основу нової системи числення, виділяючи цілі частини, які й будуть утворювати запис дробової частини числа в новій системі числення.

Цим самим правилом зручно користуватися в разі переведення з десяткової системи числення, тому що її арифметика для нас звичніша.

Приклади: 999,35₁₀=1111100111,01011₂

для цілої частини:

для дробової частини: