Погрешности при машинном представлении чисел

При машинном представлении чисел используются две формы,- с фиксированной и плавающей запятой. В первом случае условно фиксируется расположение знака, отделяющего целую часть числа от дробной. Т.е. выделяется неизменное число разрядов для целой и дробной частей числа. Так, при общем числе n двоичных разрядов, выделяемых для представления числа один разряд резервируется под знак числа, n_і знаков,- под целую и n_f=n-n_і -1 знаков, - под дробную (Рисунок 1.1).

. . . . . .

n_i – разрядов, целая часть n_f – разрядов, дробная часть

знак числа

Рисунок 1.1 – Распределение разрядной сетки при представлении числа с фиксированной запятой.

Отметим следующую особенность. Если исходные данные имеют неограниченное число верных знаков, то форма представления с фиксированной запятой позволяет их представить с абсолютной величиной погрешности не превышающей половину младшего разряда, т.е. . Таким образом, и абсолютная величина погрешности представления таких чисел не превышает . Этот факт, опуская подробности, иногда формулируют и так: в форме с фиксированной запятой числа представляются с одинаковой абсолютной погрешностью.

Форма представления с плавающей запятой предполагает, что оно представлено в виде

,

где или 1 , , число называется мантиссой, число р,- порядком. В этом случае разрядная сетка распределяется таким образом: два разряда выделяется под знаки мантиссы и порядка, разрядов выделяется под мантиссу и разрядов, - под порядок (Рисунок 1.2).

n_m – разрядов, мантисса n_f – разрядов, порядок

1 разряд, 1 разряд,

знак m_x знак порядка

Рисунок 1.2. – Один из вариантов распределения разрядной сетки при представлении числа с плавающей запятой.

В данном случае интересным является то обстоятельство, что верхние оценки для относительных погрешностей чисел, представленных в форме с плавающей запятой, являются одинаковыми. Действительно, предположим, что исходные данные имеют неограниченное число верных знаков. Тогда, вследствие погрешности округления абсолютная величина погрешности их представления и оценка для относительной имеет вид

.

Таким образом, для любого x допускаемого разрядной сеткой.