Лекція№18

Ряди Фурье.

( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французький математик)

Тригонометричний ряд.

Означення. Тригонометричним рядомназивається ряд вигляду:

або, коротше

Дійсні числа a_i, b_i називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.

Якщо ряд представленого вище типу збігається, то його сума є періодичною функцією з періодом 2p, оскільки функції sinnx і cosnx також періодичні функції з періодом 2p.

Нехай тригонометричний ряд рівномірно збігається на відрізку [-p; p], а отже, і на будь-якому відрізку через періодичність, і його сума дорівнює f(x).

Визначимо коефіцієнти цього ряду.

Для вирішення цієї задачі скористаємося наступною рівністю:

Оскільки функція f(x) неперервна на відрізку [-p; p], то існує інтеграл

Такий результат виходить в результаті того, що .

Одержуємо:

Далі множемо вираз розкладання функції в ряд на cosnx і інтегруємо в границях від -p до p.

Звідси одержуємо:

Аналогічно множемо вираз розкладання функції в ряд на sinnx і інтегруємо в границях від -p до p.

Одержуємо:

Вираз для коефіцієнта а₀ є окремим випадком для виразу коефіцієнтів a_n.

Таким чином, якщо функція f(x) – будь-яка періодична функція періоду 2p, неперервна на відрізку

[-p; p] або має на цьому відрізку скінчене число точок розриву першого роду, то коефіцієнти

існують і називаються коефіцієнтами Фурьедля функції f(x).

Означення. Ряд Фурьедля функції f(x) називається тригонометричним рядом, коефіцієнти якого є коефіцієнтами Фурье. Якщо ряд Фурье функції f(x) збігається до неї у всіх її точках неперервності, то говорять, що функція f(x) розкладається в ряд Фурье.

------

Достатні ознаки розкладання в ряд Фурье..

Теорема. (Теорема Діріхле) Якщо функція f(x) має період 2p і на відрізку [-p;p] неперервна або має скінчене число точок розриву першого роду, і відрізок [-p;p] можна розбити на скінчене число відрізків так, що усередині кожного з них функція f(x) монотонна, то ряд Фурье для функції f(x) збігається при всіх значеннях х, причому в точках неперервності функції f(x) його сума дорівнює f(x), а в точках розриву його сума дорівнює середньому арифметичному граничних значень зліва і справа. При цьому ряд Фурье функції f(x) збігається рівномірно на будь-якому відрізку, який належить інтервалу неперервності функції f(x).

Функція f(x), для якої виконуються умови теореми Діріхле називається кусочно – монотонноїна відрізку [-p;p].

Теорема. Якщо функція f(x) має період 2p, крім того, f(x) і її похідна f’(x) – неперервні функції на відрізку [-p;p] або мають кінцеве число точок розриву першого роду на цьому відрізку, то ряд Фурье функції f(x) збігається при всіх значеннях х, причому в точках неперервності його сума дорівнює f(x), а в точках розриву вона дорівнює . При цьому ряд Фурье функції f(x) збігається рівномірно на будь-якому відрізку, який належить інтервалу неперервності функції f(x).

Функція, що задовольняє умовам цієї теореми, називається кусочно– гладкоїна відрізку [-p;p].

Розкладання в ряд Фурье неперіодичної функції.

Задача розкладання неперіодичної функції в ряд Фурье у принципі не відрізняється від розкладання в ряд Фурье періодичної функції.

Припустимо, функція f(x) задана на відрізку [а, b] і є на цьому відрізку кусочно – монотонної. Розглянемо довільну періодичну кусочно – монотонну функцію f₁(x₎ з періодом 2Т ³ ïb-aï, співпадаючу з функцією f(x) на відрізку [а, b].

у

f(x)

a - 2T a а b a+2T a + 4T x

Таким чином, функція f(x) була доповнена. Тепер функція f1(x) розкладається в ряд Фурье. Сума цього ряду у всіх точках відрізка [а, b] співпадає з функцією f(x), тобто можна вважати, що функція f(x) розкладена в ряд Фурье на відрізку [а, b].

Таким чином, якщо функція f(x) задана на відрізку, рівному 2p нічим не відрізняється від розкладання в ряд періодичної функції. Якщо ж відрізок, на якому задана функція, менше ніж 2p, то функція продовжується на інтервал (b, а + 2p) так, що умови розкладності в ряд Фурье зберігалися.

Взагалі кажучи, в цьому випадку продовження заданої функції на відрізок (інтервал) завдовжки 2p може бути проведений нескінченною кількістю способів, тому суми рядів, що вийшли, будуть різні, але вони співпадатимуть із заданою функцією f(x) на відрізку [а,b].

Ряд Фурье для парних і непарних функцій.

Відзначимо наступні властивості парних і непарних функцій:

1)

2) Добуток двох парних і непарних функцій є парною функцією.

3) Добуток парної і непарної функцій – непарна функція.

Справедливість цих властивостей може бути легко доведений виходячи з Означення парності і непарності функцій.

Якщо f(x) – парна періодична функція з періодом 2p, задовольняюча умовам розкладності в ряд Фурье, то можна записати:

Таким чином, для парної функції ряд Фурье записується:

Аналогічно одержуємо розкладання в ряд Фурье для непарної функції:

Самостійна робота№18 Законспектувати,розібрати:

Приклад. Розкласти в ряд Фурье періодичну функцію з періодом T = 2p на відрізку [-p;p].

Задана функція є непарною, отже, коефіцієнти Фурье шукаємо у вигляді:

Одержуємо:

.

Побудуємо графіки заданої функції і її розкладання в ряд Фурье, обмежившися першими чотирма членами ряду.

Ряди Фурье для функцій будь-якого періоду.

Ряд Фурье для функції f(x) періоду Т = 2l, безперервної або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [-l, l] має вигляд:

Для парної функції довільного періоду розкладання в ряд Фурье має вигляд:

Для непарної функції:

Ряд Фурье по ортогональній системі функцій.

Означення. Функції j(х) і y(х), визначені на відрізку [а, b], називаються ортогональнимина цьому відрізку, якщо

Означення. Послідовність функцій j₁(x) j₂(x) . jn(x), безперервних на відрізку [а, b], називається ортогональною системою функцій нацьому відрізку, якщо всі функції попарно ортогональні.

Відзначимо, що ортогональность функцій не має на увазі перпендикулярності графіків цих функцій.

Означення. Система функцій називається ортогональною і нормованою (ортонормированной), якщо

Означення. Поряд Фурье по ортогональній системі функційj₁(x) j₂(x) .jn(x) називається ряд вигляду:

коефіцієнти якого визначаються по формулі:

,

де f(x)= - сума рівномірно що збігається на відрізку [а, b] ряду по ортогональній системі функцій. f(x) – будь-яка функція, неперервна або має кінцеве число точок розриву першого роду на відрізку [а, b].

У разі ортонормированной системи функцій коефіцієнти визначаються:

Залік з теми (7б) :

лекціі-2

Самост-3

Пр.-2