Стохастические системы.

- системы, ф-е под воздействием случ. факторов, наз. стохастическими.

Одним из важных понятий СС явл. понятие случайного оператора.

Учет случ. факторов будем выполнять:

рассм. мн-во wÎW, кот. предст. собой пр-во элементарных событий с некоторой вер-ой мерой Р(А). Она м.б. любая. Это м.б. все то, что определяется с пом. закона распределения или случ. вел-н, или случ. процессов.

Рассм. X→Z – отображение, где

X – мн-во входных сигналов,

Z – мн-во состояний системы.

В д.сл. под сл. опертором подраз. оператор H₁, позв. определить:

z=H₁(x, w) (1) - реализация отобр-я мн-ва W в отображение

X→Z : W→{X→Z}

В чем особ-ть сл. оператора?

При некот. xÎX, нельзя с учетом сл. факторов однозначно определить зн-е zÎZ, а можно лишь вести речь о появлении этого мн-ва Z*ÌZ, имеющего свои законы распределения вероятности, определяемые вер-ой мерой Р(А) и сл. оператором Н₁.

Введем понятие сл. оператора переходов и выходов.

z(t)=H₁{t, t_o, z(t_o, w_o), (t, x_L]_to^t, w’} (2)

y(t)=G₁{t, z(t), w’’} (3)

Н₁ – сл. оператор переходов

G₁ – сл. оператор выходов

- Эти операторы отн. к СС без последействия. В рамках (2) и (3):

w_o, w’, w’’ – независимые элементарные события, принадлежащие W с соответсвующими вер-тными мерами Р_о(А), Р_z(A) и P_y(A) по принадлежности этих событий соотв-им эл-ым событиям (объектам, пер-ым).

Теперь мы можем выделить ч/сл СС.

Пусть w’и w’’ – фиксированы. Тогда сл. событие - w_о. Имеем СС со случайными нач. условиями.

Пусть фиксировано w_о и w’ Þ имеем систему со случайными выходами.

Пусть w_о и w’’ фиксировано Þ имеем систему со сл. переходами.

Рассм. примеры СС, в кот протекающие сл. процессы явл. Марковскими.

3.7.1 Понятие Марковского сл. процесса (МСП). Процессы с дискретным и непрерывным временем.

Тоже рассм. в рамках СС без последействия.

Сл процессы, протекающие в системе, наз. Марковскими, если выполняются следующие условия:

для каждого мом. вр. t_о вероятность перехода системы в то или иное состояние зависит от времени t_o и не зав. от сост. системы в мом. вр., предществующий мом. времени.

- т.е. это процессы без предыстории (последействия)

Понятие МСП очень широкое, кот. очень часто исп. на практике. Рассм некоторые классы МСП. В зав. от особенностей или от специфики смены состояний МСП делятся на 2 больших класса: 1) с дискретными состояниями; 2) с непрерывными состояниями.

1) Процессы, протекающие в системе, явл. процессами с дискр. состояниями, если переход из состояние в сост-е происходит скачком. Число состояний системы можно перенумеровать (оно конечно).

2) – это процессы, в кот. смена состояний осущ-ся плавно (н-р, напр-е питающей сети; высота полета).

В дальнейшем будем рассм. только с дискр., их различают: с дискретным временем и с непрерывным временем.

Если число состояний конечно, то иссл-ую систему можно представить в виде графа состояний.

Пример: рассм. систему, сост. из 2-х блоков. Они могут выходить из строя.

S_o - Б₁ и Б₂ исправны

S₁ - Б₁ не исправен

S₂ - Б₂ не исправен

S₃ – оба неисправны

Если каждый из блоков начнет восстанавливаться, то будут и обратные переходы.

Если смена состояний системы происходит в некоторые фиксированные, наперед известные моменты вр., то в д.сл. имеют место СП с дискр. временем.

Если смена сост-й системы происходит в нек. случайные, наперед неизвестные мом. вр., то это МСП с непр. временем.

Рассм. МСП с дискр. временем.

Обозначим эти моменты времени:

S: S₁, S₂, … S_n

T: t₁, t₂, t₃, … t_k …

] (t₁, S₁)à(t₂,S₃)à(t₃,S₃)à…à(t_k,S_q)…

м.б. и такое

Обычно вводят понятие шага:

S₁^(o), S₃⁽¹⁾, S₃⁽²⁾ и т.д.

т.е. в общем случае система может нах-ся в S_i^(k) сост-ях, где

Как и люб. процессы, МСП должен задаваться опред. критериями, т.е. иметь вер-ые хар-ки. Это вер-ть того, что после k шагов система будет находиться в состоянии Si

pi(x)→Si()

Для системы, имеющей n состоящей для люб. k вып-ся условие:

(1) - нормировочное соотношение.

Суть: в д. сл. для системы, имеющей n сост-й, событие того, что система может нах в том или ином сост-и, составляют полную группу несовместных событий.

Поставим следующую задачу: для системы с n сост найти соотн-е, по кот для любого k мы могли бы найти Pi(k).

Обычно считаются заданными число сост-й и вер-ти переходов из одного сост-я в другое:

{Pij}: SiàSj, где i, j = [1,n].

(2)

При построении этой матрицы необх-мо конрол-ть правильность: для каждой строки сумма =1 (это тоже связ с тем, что имеем полную группу несовм событий).

Систему можно задать либо матрицей состояний, либо размеченным графом сост-й:

Тогда вер-ть можно определить с пом рекуррентной ф-лы: .

Вер-ть того, что сист нах в одном из n сост после k шагов определ-ся матрицей сост-й на предыдущем шаге. К экзамену ф-лу вывести!

Как это реализуется в МСП с непрерывным временем? (это процессы с двойной случайностью). Рассмотрим систему с n сост-ями. Задача: для каждого текущего мом вр найти вер-ть сост-я: Pi(t)-?

Здесь вер-ть перехода = 0, след-но исп-ся другая хар-ка: плотность вер-ти перехода системы из Si в Sj: вер-ть того, что за время Dt система перейдёт из сост-я Si в сост-е Sj. Тогда из (4) получим другое соотношение:

достаточно малая вел-на.

Теперь, говоря о размеченном графе сост-й, каждая стрелка будет сопровождаться пл-тью вер-ти перехода.

Рассмотрим, каким образом можно определить P₁(t)-?

Тоже рассмотрим не тек мом вр, а t+Dt: P₁(t+Dt)-?

Система будет вкл 4 ур-я: это система лин диф ур-й (8). Это ур-я Колмогорова.

Как решать?

Также д.б. заданы нач условия. Для t=0: система может нах в одном возможном сост-и Þ после задания нач условий (Н-р, Р₁(0)=1; Р₂(0)=Р₃(0)=Р₄(0)=0) можно получить решение системы (8) графически.

Из графа сост-й мы можем построить модель системы – сист ур-й Колмогорова, из кот мы можем получить все интересующие нас хар-ки (вероятности состояний)

Речь идёт о рассмотрении систем, кот в любые сл мом вр сл образом изменяют свои сост-я. Переход из сост-я в сост-е удобно предст в виде процесса, нах под действием потока событий. Такое понятие «поток событий» - виртуальное. Мы его можем представить как угодно. Это можно отнести к процессу ф-я любой программы (Н-р, сбои). След-но, в теории Марковских процессов гораздо чаще связ ф-е систем именно с потоком событий.

3.7.2. Потоки событий. Связь Пуассоновских потоков событий с МСП.

Под потоком событий понимается послед-ть однородных событий, появляющихся друг за другом в случ, наперёд неизвестные мом вр. Очень удобно рассматривать поток событий как посл-ть, связ с нек врем осью, на кот появление события отмечается точкой:

$ широкий спектр потоков событий. Выделение тех или иных классов связ с тем, что им свойственны нек хар-ки:

1. Стационарность потока событий. Поток стационарен, если вер-ть выпадения того или иного числа событий на интервал времени t зав только лишь от его длины (протяжённости) и не зав от положения его на временной оси (стационарность – постоянство во времени). Пример: рассмотрим работу выч центра в теч суток на предприятии. Можно ли рассматривать поток ошибок стационарным?

2. Отсутствие последействия. Для любых 2-х непересекающихся участков t₁ и t₂ число событий, выпадающих на один из них, не зав от того, какое число событий выпало на другом. Т.е. события явл независимыми.

3. Ординарность. Вер-ть появления на нек элементарном участке Dt 2-х и более событий пренебрежимо мала по сравн с вер-тью появления одного события, т.е. события приходят поодиночке.

Если потоку событий хар-ны 1, 2 и 3 cв-ва, то данный данный поток событий получил название простейшего потока событий. Он иногда наз Пуассоновским потоком. Если хар-ны 2 и 3 св-ва, но поток явл нестационарным, то в этом сл поток относят к классу нестационарных Пуассоновских потоков событий.

Введём нек количеств меру потока событий: l - интенсивность потока событий – это среднее число событий за ед времени.

Понятие «Пуассоновский поток событий» связано с распределением Пуассона:

a – пар-р закона Пуассона, кот определяет число событий, приходящихся на интервал времени t. Если речь идёт об простейшем потоке событий, то a=lt, а если о нестац, то .

Теперь поставим такую задачу: пусть события независимы. Тогда и интервал Т м/у двумя соседними событиями есть сл вел-на. Найдём закон её распределения f(t)-? Воспользуемся ф-ей распределения F(t)? производная от кот и даст нам f(t): F(t)=P[T<t] (3), т.е. вер-ть того, что на участке t появится хотя бы одно событие. Эту вер-ть можно трактовать через вер-ть обратного события:

Тогда:

- экспоненциальный закон распределения:

Нас интересует мат ожидание и дисперсия:

На практике чаще исп:

Этот момент определяет, с каким потоком событий имеет дело пользователь.

Рассмотрим интервал Dt и оценим вер-ть появления одного события на этом участке:

. Последнее выр-е разложим в ряд по степеням lDt и учтём только лин члены. Тогда получим .

Т.о. элемент вер-ти одного события на Dt определяется интенсивностью Dt. Знак » связан со cв-вом ординарности.

Ради чего мы рассматриваем потоки событий? Рассмотрим некоторую систему, имеющую n состояний S: S₁, S₂, … Sn и для кот мы можем определить некоторый граф:

В рамках этого графа рассмотрим элемент

И рассмотрим переход системы из сост-я Si в Sj. Смену сост-й мы можем определить как вер-ть перехода через плотность вероятности перехода. Рассмотрим интервал времени Dt. Тогда вер-ть равна lijDt. С другой стороны смену сост-й модно представить в виде некого потока событий с интенсивностью l. Эта смена произойдёт с вер-тью lDt. А речь идёт об одном и том же событии – переходе. След-но м/у этими вер-тями можно поставить знак «=». Тогда l=lij. След-но, плотность вер-ти перехода и интенсивность потока событий – это одно и то же.

Если в системе потоки событий, переводящие её из одного состояния в другое, явл. Пуассоновскими, то процессы в ней явл Марковскими.