Определение комплексных чисел, комплексная плоскость, формы записи комплексных чисел

Определение. Выражение вида называется комплексным числом.

Элемент = называется «мнимой единицей». Элементы и - любые действительные числа. Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается . Число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Запись комплексного числа, представленного выше, называется алгебраической записью комплексного числа.

Модулем комплексного числа называется число .

Каждому комплексному числу соответствует пара действительных чисел ( ; ) и наоборот. Поэтому комплексные числа удобно интерпретировать геометрически как точки на плоскости. Плоскость, содержащая комплексные числа называется комплексной и обозначается . В ней ось ox - действительная, а ось oy - мнимая.

Определение Угол , образованный радиус-вектором с положительным направлением оси называется аргументом комплексного числа и обозначается: Arg .

Наименьшее по модулю значение аргумента называется главным аргументом и обозначается: arg , Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого кратного : Arg = arg +2к .

Если учесть, что , а , то - тригонометрическая форма комплексного числа, где , а - аргумент комплексного числа.

- показательная форма записи комплексного числа, при этом = (формула Эйлера).