Решение систем m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

Рассмотрим систему вида:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных и в приведении системы к ступенчатому виду путём элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями системы называют преобразования вида:

- перестановка местами любых двух уравнений системы;

- умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля;

- прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

В результате элементарных преобразований получается система, эквивалентная исходной. Если при проведении элементарных преобразований получается уравнение вида , то такое уравнение вычёркивается из системы. Если получается уравнение вида , где , то система несовместна.

Переход от исходной системы (1) к равносильной системе ступенчатого вида называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы ступенчатого вида – обратным ходом.

Прямой ход

В системе среди коэффициентов при неизвестном x₁ найдётся хотя бы один не равный нулю. Уравнение с этим коэффициентом записывается первым. – ведущий коэффициент для первого уравнения. Разделим первое уравнение системы на a₁₁, получим: , где

Проведём первый шаг преобразований, который заключается в исключении неизвестной x₁ из 2-го, 3-го… уравнений системы. Для этого будем умножать уравнение (4) на числа –a₂₁, –a₃₁…–a_m1 и складывать соответственно со 2-м, 3-м,…, m-м уравнениями системы (1).

В результате получим систему: .

Второй шаг преобразований.

Предположим – ведущий коэффициент 2-го уравнения системы (5). Разделим обе части 2-го уравнения системы (5) на , полученное уравнение , где С помощью уравнения (6) исключим неизвестную x₂ из 3-го, 4-го, …, m-го уравнений системы (5). Для этого умножим обе части уравнения (6) на числа и сложим соответственно с 3-м, 4-м, …, m-м уравнениями системы.

В результате получим систему: .

После конечного числа таких шагов возможны варианты.

1) Получена система треугольного вида:

которая совместна и определенна. Она имеет единственное решение, которое находится обратным ходом.

2) Получена система трапецеидального вида. Тогда выбираются базисные неизвестные , которые выражаются через свободные неизвестные , и записывается общее решение системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений в зависимости от значений свободных неизвестных.

3) Система несовместна, если она содержит уравнение вида , .

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение

Ответ: