Умножение матриц

Определение. Произведением матрицы A = (a_ij) размера mxn ( , ) на матрицу B = (b_jk) размера nxp ( , ) называется матрица размера mxp, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие им элементы k-го столбца матрицы B, то есть .

!!! Перемножаются только такие две матрицы, у которых число столбцов первой равно числу строк второй.

Например:

Пример:

1. ;

2. ;

3. = — не существует, так как число столбцов матрицы A равно 2, а число строк матрицы B равна 3.

Замечания

1. а) Если произведение матриц существует, то произведение матриц может и не существовать. Например существует, а не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы;

б) если оба произведения и существуют, то они могут быть матрицами разных размеров, например , а , то есть ;

в) если А и В – квадратные матрицы одного и того же порядка, то оба произведения и существуют, но переместительный закон умножения , вообще говоря, не выполняется, то есть ;

2. Умножение матриц не обладает перестановочным свойством, вообще говоря .

3. Если , то такие матрицы называются перестановочными или коммутативными.

Свойства операции транспонирования

1.

2.

3.

4.

Свойства операции умножения матриц

1. ;

2. ;

3. ;

4. где E – единичная матрица, A – квадратная матрица того же порядка что и E.

5. , где D - скалярная матрица, А – квадратная матрица того же порядка что и D.

4.1.3 Определители n-го порядка и их свойства

Каждой квадратной матрице порядка n по определённому закону ставится в соответствие некоторое число , называемое определителем матрицы A или просто определителем n-го порядка и обозначается:

или .

Элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ определителя, другую диагональ определителя называют побочной.

Определение. Минором M_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя путём вычёркивания элементов i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.

Пример:Для

Определение. Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя n-го порядка называется число .

Замечание. Если сумма номеров строки и столбца i + j - число чётное, то ,если i + j - число нечётное, то .

Например: .

Определение. Определителем n-го порядка или детерминантом называют число, равное сумме попарных произведений элементов первой строки определителя на соответствующие им алгебраические дополнения, то есть

В соответствии с этим определением рассмотрим правила вычисления определителей:

1. Для определителей первого порядка:

2. Для определителей второго порядка:

Пример:

3. Для определителей третьего порядка:

Схема вычисления определителя 3-го порядка по правилу треугольника:

4. Универсальное правило Лапласа вычисления определителей.

Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения, то есть

-разложение определителя по элементам i-ой строки;

- разложение определителя по элементам j-го столбца.

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Общий множитель элементов любой строки или столбца может быть вынесен за знак определителя.

4. Если определитель содержит строку или столбец нулей, то он равен нулю.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) представляют собой сумму двух элементов, то такой определитель равен сумме двух определителей, первый из которых в соответствующей строке (столбце) содержит первые слагаемые, а второй – вторые слагаемые, остальные элементы сохраняются.

6. Определитель равен нулю, если он содержит две пропорциональные или одинаковые строки (столбца).

7. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

8. Сумма попарных произведений элементов какой-либо одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих им элементов другой строки (столбца) равна нулю.

9.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц n-го порядка равен произведению их определителей:

если