Синтез переключательных функций в одноэлементном базисе
Операция (стрелка) Пирса
f8(x1,x2)| x1 | ||||
| x2 | ||||
| f8 |
Эту функцию можем представить, записав по "единицам":
f8(x1,x2) = x1x2 = x1
x2
или
x1x2 = x1x2
На основе принципа суперпозиции:
f(x1,x2,...xn) = x1x2x3. . . xn = x1x2x3 . . .xn
Применяя правило де Моргана:
x1x2x3. . .xn = x1x2x3 . . .xn = x1 
x2 x3 . . . xn
или:
x1x2x3. . .xn = x1 x2 x3 . . . xn
т.е.
x1x2x3. . .xn = x1 x2 x3 . . . xn
Рассмотрим некоторые соотношения для операции Пирса:
xx = xx = x
x1x2 = x1x2 = x2x1 = x2x1
x1x2x3 = (x1x2)x3 = x1x2x3 
x1(x2x3),
т.е. операция Пирса не обладает свойством ассоциативности
x1x2x3 = (x1x2)x3 = x1(x2x3)
x1x2x3x4 = (x1x2)(x3x4)
При этом порядок выполнения операций в формулах, где есть операции Пирса такой:
- раскрываются скобки
- выполняются операции инверсии
- выполняются операции Пирса
Синтез логических функций в базисе Пирса удобно производить, имея запись функции в КНФ.
Допустим, что ФАЛ задана в конъюктивной форме
f = Q1Q2Q3 . . . Qn
Подставим член Qi в виде:
Qi = (xr xp xq . . . xw xf xe . . . xz)
Возьмем двойное отрицание от обеих частей этого равенства, применив правило де Моргана
Qi = (xr xp xq . . . xw xf xe . . . xz) = (xr * xp * xq * . . . xw * xf * xe * . . . * xz)
Применяя соотношение, полученное на основе принципа суперпозиции:
Qi = (xrxpxq. . .xwxf xe. . .xz)
Или, применяя это преобразование к исходной форме, получим:
f = Q1Q2Q3. . .Qn
Итак: чтобы от КНФ перейти к базису Пирса и инверсии необходимо:
- заменить операции дизъюнкции операциями Пирса
- заменить операции конъюнкции операциями Пирса
- заключить в скобки все те группы букв, которые соответсвуют конъюнктивным членам.
Пример:
f(x1x2 x3) = (x1 x2 x3) (x1 x4) (x2 x4) = (x1x2x3)(x1x4) (x2x4)
Замечание. Так как в этих произведениях число букв не увеличивается, и если исходная форма функции была минимальной, то вновь полученная также будет минимальной (в действительности дело обстоит сложнее, поскольку мы рассматриваем не базис "", а другой, то есть "" и "-" - операцию Пирса и инверсию).
Принципиально можно избавиться от отрицаний, применив соотношение: xi = xixi, но тогда нельзя будет утверждать, что полученная форма будет минимальной!