Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пример полного исследования функции и построения графика.

1) Область определения функции

2) Пределы к концам интрвалов из которых состоит область определения функции

3)

4) критические точки второго рода

Точки перегиба: и

5) Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты.

наклонная асимптота (одновременно и правая, и левая).

6) Точка пересечения с осями координат

7) Функция четная.

На основании проведенного исследования легко построить график кривой.

Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция имеет конечное число критических точек первого рода. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка то, очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой наименьшего минимума.

Таким образом, если требуется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке то надо: найти все максимумы функции на отрезке, определить значения функции на концах отрезка и из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее. Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке.

Пример. Определить на отрезке наибольшее и наименьшее значения функции

Подставляя в левые и правые части равенств (2) и (3) вместо значение и заменяя на основании равенств (1) через и т.д., получим:

Обозначим через разность значений данной функции и построенного многочлена тогда будем иметь:

называется остаточным членом. Для тех значений для которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное представление функции

Остаточный член обычно записывают в так называемой форме Лагранжа: , где

Подставив (5) и (7) в (6), получим формулу Тейлора для функции с остаточным членом в форме Лагранжа: