Магнитное поле цилиндрического проводника с током

Пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса R про­текает по­стоянный ток I . Выберем систему координат x, y, z так, чтобы ось про­вода совпадала с осью координат z .

Будем считать, что ток равномерно распределяется по сечению провода, тогда его плотность будет равна .

Имеем две об­ласти, для каж­дой из которых выполним расчет параметров магнитного поля:

1) область внутри провода при 0 £ r £ R ,

2) область вне провода при R £ r £ ¥ .

Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде ок­ружности с текущим радиусом r<R . Тогда ток внутри контура интег­рирования:

, откуда .

Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интеграль­ной форме :

,

откуда следует и .

Векторы и направлены по касательной к окружности, их направле­ние опре­деляется по правилу правоходового винта.

При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину dj на единицу длины провода

(l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину dy :

Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в резуль­тате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода:

_,

.

Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктив­ности провода на еди­ницу длины :

[Гн/м].

Внутренняя индуктивность провода зависит от его магнитной прони­цаемости m (для стальных проводов она значительно больше, чем для медных или алюминиевых) и не зави­сит от его радиуса.

Для расчета поля во внешней области выберем контур интегрирования в виде окруж­ности с текущим радиусом r>R . Ток внутри контура интегрирова­ния равен I и не зависит от текущего значения радиуса r. Из закона полного тока следует:

,

откуда

и .

Для магнитного поля снаружи провода можно определить скалярный магнитный потенциал, полагая Н= – gradφ_M..

В цилиндрической системе координат

Тогда

т.е. плоскости равного скалярного потенциала проходят через радиус и ось проводника.