Проводящий шар в однородном электростатическом поле
Метод разделения переменных.
Метод интегрирования уравнений Пуассона-Лапласа. Поле и емкость цилиндрического конденсатора с двухслойной изоляцией
Наиболее общим методом решения задач электромагнитного поля является метод интегрирования уравнений поля с учетом граничных условий.
Дан цилиндрический конденсатор с внутренней обкладкой радиусом а1, внешней – радиусом а2 и границей между слоями диэлектрика радиусом а. Проницаемость слоя в пределах а1 < r < a равна ε1, а слоя в предел а < r < a2 равна ε2. Длина конденсатора l. Заряд конденсатора q. Рассчитать электрическое поле между обкладками и емкость конденсатора.
Решение
1. Решаем уравнения Лапласа для каждого слоя в отдельности:
.
Для слоя а1 ‹ r ‹ a φ1 = A1ln r + B1;
для слоя a ‹ r ‹ a2 φ2 = A2ln r + B2.
2. Находим напряженность электрического поля как .
Тогда ; .
3. Находим постоянные интегрирования из граничных условий:
при r1 = a1 , следовательно, .
Отсюда .
При r = a D1 = D2, или e1Е1= Е2ε2; значит, .
Отсюда .
4 . Предположим, что φ = 0 при r = a2 (так как точку нулевого потенциала можно задать произвольно). Тогда .
Из условия непрерывности потенциала во всех точках поля, то есть
,
получаем .
5. Подставляем значения постоянных интегрирования в выражения для Е и φ:
; ;
; ,
где r – координата произвольной точки.
6. Находим напряжение и емкость конденсатора:
.
7. Находим энергию, накопленную в конденсаторе:
.
Пусть в однородное электростатическое поле с напряженностью E0 помещен незаряженный металлический шар радиусом a (рис. 1). Диэлектрик, окружающий шар, имеет относительную диэлектрическую проницаемость εr. Требуется рассчитать поле (определить его напряженность , вектор электрической индукции и потенциал ) в каждой точке диэлектрика, окружающего шар, а также на поверхности шара.
Рис.2
Решение. Любое однородное поле является бесконечным. При помещении металлического шара в электростатическое поле оно перестает быть однородным. Поле искажается, так как на поверхности шара индуцируется заряд, который, в свою очередь, возбуждает новое поле, накладывающееся на внешнее однородное поле.
Поле внутри шара равно нулю (шар является проводником):
.
В диэлектрике, окружающем его, свободных зарядов нет, поэтому, с математической точки зрения, поле вне шара описывается уравнением Лапласа:
.
Для расчета поля следует выбирать такую систему координат, которая соответствует геометрии рассматриваемой задачи. Так как шар представляет собой сферу, выберем сферическую систему координат, начало которой поместим в центр шара. Координату будем отсчитывать по часовой стрелке от направления вектора (рис.3).
Рис.3
Запишем граничные условия задачи. Вдали от шара поле остается однородным:
. (1)
Поскольку поверхность проводящего шара является эквипотенциальной, ее потенциал не изменяется, т.е.
. (2)
Исходя из симметрии шара, можно установить, что напряженность поля и потенциал зависят только от двух сферических координат R и θ, т.е. от угла ψ величина потенциала зависеть не будет.
Представив уравнение Лапласа в сферической системе координат
. (3)
Таким образом, расчет поля шара сводится к решению уравнения Лапласа в частных производных (3) с учетом граничных условий (1 и (2). Одним из методов решения таких уравнений является метод разделения переменных, или метод Фурье, согласно которому решение (3) можно найти в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты R, а другая – только от координаты θ, т.е.
. (4)
Подставляя (4) в (3), после соответствующих преобразований получим:
, (5)
где , .
Из (5) следует, что сумма двух функций, независимых друг от друга, равна нулю. Это возможно только в том случае, когда каждая из них равна постоянной величине:
, .
Соответственно можно записать два уравнения:
, (6)
. (7)
Уравнение (7) есть частный случай широко известного в математике уравнения Лежандра, решение которого имеет вид
. (8)
Подставляя (8) в (7), можно определить значение постоянной :
,
откуда .
С учетом значения постоянной уравнение (6) запишется как
. (9)
Перейдем к новой переменной :
, , .
Тогда
,
.
Подставляя полученные соотношения в (9), получим:
. (10)
Решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения известно:
,
где и – корни характеристического уравнения (10):
,
, , .
Тогда
.
Подставляя выражение для в (4), найдем окончательное решение уравнения (3):
. (11)
Соотношение (11) определяет потенциал любой точки поля вне шара с точностью до постоянных и .
Напряженность поля вне шара в сферической системе координат складывается из трех составляющих:
, ,
где – проекция на направление единичного радиус-вектора ; – проекция на направление единичного вектора , – проекция напряженности поля на направление единичного вектора .
С учетом симметрии задачи
,
следовательно, в данном случае
, . (12)
Поскольку электростатическое поле – это потенциальное поле, используя выражение для градиента в сферической системе координат, и симметрию задачи, можно записать:
. (13)
Сравнивая выражения (12) и (13), получим:
(14)
Выражение (11) и система (14) представляют общий вид решения уравнения с точностью до постоянных интегрирования и . Они описывают множество задач электростатики. Решение для поставленной задачи можно найти с помощью граничных.
Поскольку напряженность поля направлена по оси (угол равен нулю), из граничного условия (1) и выражений (14) следует:
, . (15)
Граничное условие примет вид:
.
Это условие должно выполняться при любых значениях угла , что возможно только в случае, когда
,
откуда
. (16)
Искомое решение для проводящего шара:
Найдем напряженность электрического поля на поверхности шара:
,
,
. (17)
Из (17) следует, что на полюсах шара ( и ) напряженность поля будет максимальной, т.е.
.
Таким образом, напряженность электрического поля на полюсах шара в три раза больше напряженности внешнего поля . Этот результат следует учитывать при разработке конструкции проводящих шаровых крыш, куполов. Именно в полюсах шара следует ожидать удара молнии (пробой) во время грозы. Интересно отметить, что максимальное значение напряженности поля не зависит от радиуса шара. Поэтому нетрудно оценить, например, влияние проводящей крупинки, попавшей в изоляцию. Так, капелька воды в баке трансформатора с масляным заполнением вызывает значительное местное увеличение напряженности поля.
Картина силовых и эквипотенциальных линий (картина поля) вокруг проводящего шара представлена на рис. 4.
Рис. 4
Под действием внешнего поля на поверхности шара индуцируется свободный заряд: на верхнем полушарии – положительный заряд, а на нижнем – равный ему по величине отрицательный заряд. В соответствии с (17) рассчитаем плотность индуцированного заряда на поверхности шара:
. (18).
Из (18) следует, что плотность свободного заряда пропорциональна . На рис 5 приведен график изменения плотности индуцированного заряда для верхнего полушария.
| Рис. 5 | Рис. 6 |
Определим полный заряд одного полушария:
.
Как видно из рис.6, площадь кольца равна:
,
тогда
.
С учетом (18) получим:
Таким образом, полный заряд шара пропорционален квадрату его радиуса, напряженности внешнего поля и относительной диэлектрической проницаемости окружающей среды .