Поле и емкость между несосными, охватывающими друг друга круглыми цилиндрами
Пусть два проводящих цилиндра радиусами и соответственно расположены в среде с диэлектрической проницаемостью на расстоянии . Напряжение между цилиндрами равно . Длина цилиндров столь велика, что искажением поля у торцов цилиндров можно пренебречь ( , ).
Разместим электрические оси так, чтобы поверхности цилиндров стали эквипотенциальными поверхностями в поле этих осей. Геометрические оси цилиндров обозначим соответственно и (рис. 2.9).
Положение электрических осей относительно геометрических (h1, h2, b) определяем из соотношений:
Значения потенциалов на поверхностях проводящих цилиндров рассчитаем следующим образом.
Оба цилиндра расположены в полуплоскости положительно заряженной оси, следовательно, и .
и .
Тогда потенциал поверхности внутреннего цилиндра равен:
.
Потенциал поверхности внешнего цилиндра получим в виде
.
Напряжение между цилиндрами запишем как
.
Поскольку напряжение известно по условию задачи, найдем заряд на единицу длины :
.
Следовательно, емкость цилиндров на единицу длины равна:
.
2.14.5.Поле и емкость системы "цилиндр – плоскость"
Цилиндрический провод расположен над проводящей плоскостью (землей). Заданны радиус провода R, высота подвески h (радиус R соизмерим с высотой h). К проводу приложено постоянное напряжение U .
Согласно второму следствию из теоремы единственности заменим проводящую среду диэлектриком, а поверхностные заряды провода и земли - двумя разноименно заряженными осями +t и -t так, чтобы остались неизменными прежние граничные условия:
1) поверхность земли должна быть эквипотенциальной с потенциалом = 0;
2) поверхность провода должна быть эквипотенциальной с потенциалом =U. Чтобы выполнить эти условия, электрическая ось+t должена быть смещена относительно геометрическиой оси на некоторое расстояние h-b. Поверхностные заряды земли заменим зеркальным зарядом с противоположным знаком: -t.
Положение электрических осей определяется из теоремы Аполония:
Таким образом, электростатическое поле, создаваемое двумя проводами с поверхностными зарядами σ, будет эквивалентным полю, которое создается двумя разноименно заряженными осями +t и -t, и для его расчета можно применить полученные ранее формулы:
Потенциал провода:
.
Из полученного выражения вытекают расчетные формулы:
.
Если высота подвеса провода намного больше его радиуса, то смещением электрических осей можно пренебречь (h - b 0) и считать, что электрические оси проводов совпадают с геометрическими осями. В этом случае расчетные формулы будут иметь вид:
.