Поле уединенной равномерно заряженной оси
Под заряженной осью понимают весьма тонкий, теоретически бесконечно длинный металлический проводник, на котором равномерно распределен заряд с линейной плотностью .
Пусть заряженная ось находится в среде с относительной диэлектрической проницаемостью . Заряд, приходящийся на единицу ее длины известен и равен . Требуется определить напряженность поля и потенциал в любой его точке, удаленной на расстояние от оси.
Pасчитаем поле в произвольной точке M с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме. Ось c линейным зарядом плотностьюt окружим цилиндрической поверхностью произвольнного радиуса r и длиной образующей l =1 так, чтобы ось цилиндра совпала с заряженной осью. Вектор электрического смещения в силу симметрии во всех точках на боковой поверхности цилиндра (r=const) имеет одно и то же значение и направление по радиусу, т.е. нормально к этой поверхности.
По теореме Гаусса .
Поток вектора через торцевые поверхности цилиндра равен нулю, так как линии вектора здесь направлены по касательной к поверхности. Тогда
Откуда следует, что .
.
В цилиндрической системе координат потенциал поля зависиь только от радиуса.: , откуда
.
Если принять на некоторой поверхности радиуса значение потенциала равным нулю, то и значение потенциала на поверхности произвольного радиуса будет равна:
.